Função de crescimento: como identificá-la, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Tem um função crescente quando o valor de y aumenta se o valor de x também aumenta, em oposição às funções decrescentes, nas quais o valor de y diminui quando o valor de x aumenta.

A figura a seguir mostra uma função crescente, e observa-se claramente que ao se mover da esquerda para a direita ao longo do eixo x, o valor da respectiva coordenada y, equivalente af (x), aumenta gradativamente. Diz-se que se para todo x₂ > x₁, então existe e₂ > e₁.

Pontos P₁ E P₂ mostrado tem, respectivamente, coordenadas (x₁, Y₁) e (x₂, Y₂) Eles são definidos:

Δy = y₂ -Y₁

Δx = x₂ –X₁

Nesta função, tanto Δy quanto Δx têm sinal positivo, o que significa que y₂ > e₁ e x₂> x₁, respectivamente. Este é um sinal claro de que a função está realmente crescendo.

Um bom exemplo de função sempre crescente (crescente monotônica) é o logaritmo natural de um número real. Quanto maior o número, maior seu logaritmo.

Como identificar uma função crescente?

Em uma função simples e contínua como a mostrada na Figura 1, é fácil determinar se a função está aumentando ou diminuindo, desde que o gráfico esteja disponível.

No entanto, funções mais complexas podem aumentar em alguns intervalos e diminuir em outros. É por isso que eles falam sobre intervalos de crescimentoe diminuir de uma função.

Na web, existem máquinas gráficas online gratuitas, como o Geogebra, que permitem representar graficamente todos os tipos de funções. Pegando o gráfico, é fácil determinar se a função está sempre aumentando, como f (x) = log x ou se ela tem intervalos em que aumenta e outros em que diminui e quais são.

Critério da primeira derivada

Considerando um determinado intervalo numérico I, se o quociente entre as quantidades Δy e Δx for positivo, a função é crescente. E ao contrário, se for negativo, a função está diminuindo.

Segue-se então que:

Δy / Δx> 0 → Função crescente

O fato de Δy / Δx> 0 e a função estar aumentando em determinado intervalo sugere que a primeira derivada da função, ou melhor, seu sinal, pode ser usado como critério para determinar se a função realmente cresce em um intervalo particular ou mesmo em um determinado ponto em seu domínio.

Na verdade, a primeira derivada é definida como a inclinação da curva em cada ponto:

O teorema a seguir oferece um critério para saber quando uma função está aumentando no intervalo (a, b):

Teorema

Seja f (x) uma função diferenciável em (a, b). Se f´ (x)> 0, para cada valor de x pertencente a este intervalo, diz-se que f (x) é crescente em (a, b).

O teorema é aplicado para descobrir em quais intervalos a função cresce, seguindo estas etapas:

Passo 1

Encontre os pontos em que f´ (x) = 0, bem como aqueles em que f´ (x) não existe. Estes, chamados Pontos críticos, são pontos nos quais f´ (x) pode mudar de sinal e, portanto, f (x) tem a oportunidade de passar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 2

Encontre o sinal de f´ (x) para um valor arbitrário em cada um dos intervalos determinados pelos pontos encontrados na etapa 1.

etapa 3

Use o teorema para descobrir se a função está aumentando ou não em cada intervalo.

Exemplos de funções crescentes

Existem funções que possuem alguns intervalos de crescimento e outros de diminuição, mas as mostradas a seguir estão sempre aumentando.

Peso em função da idade

O peso da pessoa desde o nascimento até o final da adolescência é quase sempre uma função crescente da idade. Bebês e crianças crescem e se desenvolvem com o passar dos anos e, então, como adultos, espera-se que mantenham um peso estável pelo resto da vida, embora os altos e baixos sejam muito comuns.

A função logaritmo

As funções do logaritmo natural da variável real f (x) = ln x e do logaritmo decimal f (x) = log x estão sempre aumentando.

A função de raiz quadrada de um número real

Outra função que está sempre aumentando é a função da raiz quadrada de um número real positivo:

y = √x

A função afim e a função linear

A função afim:

f (x) = mx + b

Ele está aumentando enquanto a linha tiver uma inclinação positiva. Da mesma forma, as funções identidade e linear:

f (x) = x e f (x) = ax, com a> 0

Eles estão crescendo em todo o seu domínio.

A função exponencial

Uma função exponencial como f (x) = e^x e, em geral, a função do formulário:

f (x) = a^x, com um> 1

Eles estão crescendo em todo o seu domínio.

A função potencial de índice ímpar

Funções de potencial expoente ímpar, como estas:

f (x) = x³
g (x) = x⁵

Eles estão sempre aumentando.

Exercícios

Exercício 1

Determine em quais intervalos a função representada no gráfico a seguir está aumentando:

Solução

Como o gráfico está disponível, a partir de sua observação cuidadosa determina-se que a função tem o seguinte comportamento:

-De x → -∞ a x = 0 a função está aumentando, uma vez que os valores de y se tornam cada vez menos negativos. Pequenos segmentos de reta foram desenhados em roxo para indicar a inclinação da reta tangente à curva em vários pontos (a inclinação da reta tangente à curva é precisamente sua primeira derivada).

Esses segmentos têm uma inclinação positiva, então o teorema garante que a função está aumentando neste intervalo.

-Mas em x = 0 a inclinação da curva desaparece, o que é indicado por um pequeno segmento vermelho horizontal. Este é um ponto crítico da função.

A partir daí, a função começa a diminuir, tornando-se cada vez mais negativa. os valores de y. Essa situação continua até x = 2, que é outro ponto crítico.

Então, no intervalo de x = 0 a x = 2, a função diminui.

- A partir de x = 2 a função se torna cada vez menos negativa, até que em x = 3 ela cruza o eixo x e continua a se tornar mais positiva a cada vez. Portanto, este é um intervalo de crescimento.

Conclusão: os intervalos de crescimento são (-∞, 0) e (2, ∞ +), enquanto o intervalo de diminuição é (0,2).

Exercício 2

Determine os intervalos de crescimento da seguinte função, usando o critério da primeira derivada:

f (x) = x² - 2x

Solução

Seguindo as etapas acima, a primeira derivada é calculada e definida como 0 para encontrar os pontos críticos:

f ’(x) = 2x -2

2x - 2 = 0

x = 1

Este valor determina a existência dos intervalos (-∞, 1) e (1, ∞ +). Dois valores são escolhidos arbitrário que pertencem a cada um:

-Para x = 0, que pertence a (-∞, 1), temos que f ’(0) = 2,0 - 2 = -2. Como o resultado é negativo, a função está diminuindo neste intervalo.

-Para x = 3, pertencente a (1, ∞ +), a primeira derivada é f ’(3) = 2,3 - 2 = 4. Dado que o resultado é positivo, conclui-se que a função cresce neste intervalo.

O leitor pode representar graficamente a função original f (x) = x² - 2x em uma máquina gráfica online para corroborar este resultado.

Referências

Ayres, F. 2000. Calculus. 5ed. Mc Graw Hill.
Leithold, L. 1992. Calculus with Analytical Geometry. HARLA, S.A.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
Mathemobile. Funções, aumentando, diminuindo e constantes. Recuperado de: matemovil.com
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Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.