Como obter a porcentagem? exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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Se pode obter uma porcentagem com vários métodos. Você pode calcular rapidamente 10% de qualquer número apenas movendo seu ponto decimal uma casa para a esquerda. Por exemplo, 10% de 100 é 10; 10% de 1000 é 100.

Se você deseja calcular porcentagens mais complexas, como 36% de 25 ou 250% de 20, você precisa usar outros métodos. Para os casos em que o sistema de 10% não é aplicável, as seguintes metodologias podem ser consideradas.

O termo porcentagem significa uma certa parte de cada cem e se refere à operação aritmética realizada para encontrar essa parte. Por exemplo, 20% (leia-se "vinte por cento") de desconto em pesos significa que, para cada 100 pesos, 20 pesos são descontados.

A porcentagem é usada para calcular quanto do total uma quantidade representa. Nesse caso, o total é levado à escala de 100 e o percentual informa qual quantidade, com base nesses 100, é a parte a ser calculada.


Vamos ver como fazer isso com esses exemplos. Em primeiro lugar, fazemos isso como uma fração:

  • 20% = 20/100
  • 5% = 5 /100
  • 0,7% = 0,7 / 100
  • 100% = 100 / 100

Observe que 100% é igual a 1. Mas as porcentagens também podem ser escritas na forma decimal:

  • 20% = 0,20
  • 5% = 0,05
  • 0,7% = 0,007
  • 100% = 1,0

Ao expressar a porcentagem de um determinado número na forma decimal, simplesmente mudanças de vírgula desse número dois lugares à esquerda. A porcentagem também se aplica ao regra de proporcionalidade:

20% é 20 de 100, portanto:

20% de 100 é 20, 20% de 200 é 40, 20% de 300 é 60, 20% de 50 é 10.

Regra geral para 20% de qualquer valor

20% de X é X * (20/100) = X * 0,2 = 0,2 * X

Esta regra pode ser facilmente estendida para encontrar qualquer outra porcentagem desejada. Vamos ver como na próxima seção.


Exercício resolvido com fórmula para calcular n%

Uma fórmula para resumir o acima e calcular rapidamente qualquer porcentagem n isto é:

n% =(A * n) / 100

Por exemplo, você deseja calcular 25% de 400

Portanto, n = 25 e A = 400, o que resulta em (400 * 25) / 100 = 100

Exemplo

Qual porcentagem de 60 é 24?

Solução

O que é perguntado equivale a perguntar qual é o n% de 60 que dá 24?

Propomos a fórmula geral:

60 * n / 100 = 24

Nós limpamos n com este procedimento:

-Os 100 que estão se dividindo no membro iesquerda de igualdade, passe para o membro direito multiplicando.

-E os 60 que se multiplicam no membro esquerda passe para membro direito dividindo.

n = 24 * 100/60 = 2400/60 = 240/6 = 6 * 40/6 = 40

Conclui-se que 40% de 60 são 24.


Resolvidos problemas de cálculo de porcentagem

Aqui estão alguns exercícios simples para começar a praticar o acima.

Exercício 1

Encontre 50% de 90.

Solução

Aqui X = 90, n = 50% e substituímos:

90 * 50% = 90 * (50 / 100) = 4500 /100 = 45 

Este é bem simples, porque 50% de qualquer valor é metade desse valor e metade de 90 é 45.

Exercício 2

Encontre 30% de 90.

Solução

90 * 30% = 90 * (30 / 100) = 2700 /100 = 27

Aumentos percentuais

É comum na vida cotidiana ouvir falar de um aumento em algo, por exemplo, um aumento na produção, um aumento de salário ou um aumento em um produto. Quase sempre é expresso como uma porcentagem.

Por exemplo, um determinado produto custava 300 € mas sofreu um aumento de 30%. Nos perguntamos: qual é o novo preço do produto?

A primeira coisa é calcular a parcela que corresponde ao aumento. Como o aumento é de 30 partes de 100, a parcela do aumento, com base no preço original de 300, é três vezes as 30 partes, ou seja, 3 * 30 = 90.

O produto aumentou € 90, então o novo preço final será o que custava antes mais o aumento:

Novo preço = preço antigo + € 90 = € 390

Podemos construir uma fórmula para calcular o aumento percentual. Usamos letras para simbolizar preços, como este:

–F é o valor final

-Eu é o valor inicial e

-n é a porcentagem de aumento.

Com esses nomes, o valor final seria calculado assim:

f = i + (i * n / 100)

Mas como Eu se repete nos dois termos, pode-se tomar como fator comum a obtenção desta outra expressão, igualmente válida:

f = i * (1 + n / 100)

Vamos verificar com o caso já resolvido, o produto que custava 300 € e aumentou 30%. É assim que garantimos que a fórmula funcione bem:

Preço final = f = € 300 * (1 + 30/100) = € 300 * (1 + 0,3) = € 300 * 1,3 = € 390

Exercício 3

Um funcionário ganhava € 1.500, mas foi promovido e seu salário teve um aumento de 20%. Qual é o seu novo salário?

Solução

Vamos aplicar a fórmula:

f = € 1.500 * (1 + 20/100) = € 1.500 * (1 + 0,2) = € 1.500 * 1,2 = € 1.800

O novo salário do empregado é de 1800 €.

Reduções percentuais

No caso de diminuições, a fórmula de cálculo do valor final F de uma certa quantia inicial Eu que sofreu uma diminuição em n% isto é:

f = i * (1 - n / 100)

Deve-se notar que o sinal positivo (+) da fórmula na seção anterior foi substituído por um sinal negativo (-).

Exercício 4

Um produto marcou € 800, mas recebeu um desconto de 15%. Qual é o novo preço do produto?

Solução 4

O preço final de acordo com a fórmula é:

f = € 800 * (1 - 15/100) = € 800 * (1 - 0,15) = € 800 * (0,85) = € 680

O preço final com 15% de desconto é de 680 €, o que representa uma poupança de 120 €.

Percentagens sucessivas

Surge quando alguma quantidade sofre uma variação percentual e depois é aplicada outra, também percentual. Por exemplo, um produto que teve dois descontos percentuais consecutivos. Outro exemplo é o de um funcionário que teve dois reajustes consecutivos.

- Aumentos percentuais sucessivos

A base de solução para estes casos é a mesma que para aumentos individuais, mas deve-se levar em consideração que o segundo aumento percentual é feito sobre o valor final do primeiro aumento.

Suponha um produto que subiu primeiro 10% e depois 5%. Não é correto dizer que sofreu um aumento de 15%, na verdade foi mais que esse percentual.

As fórmulas para o valor final seriam aplicadas assim:

-Primeiro o valor final do primeiro aumento de n1% é calculado

f1 = i + i * n1 / 100

-E então, para encontrar o valor final do segundo aumento de n2%, o valor final de f1 é tomado como o valor inicial. Portanto:

f2 = f1 + f1 * n2 / 100

Exercício 5

Um livro custava originalmente € 55, mas devido ao seu sucesso e alta demanda, sofreu dois aumentos consecutivos em relação ao preço original. O primeiro aumento foi de 10% e o segundo de 20%. Qual é o preço final do livro?

Solução

-Primeiro aumento:

f1 = € 55 * (1 + 10/100) = € 55 * 1,1 = € 60,5

-Segundo aumento

f2 = € 60,5 * (1 + 20/100) = € 60,5 * 1,2 = € 72,6

O preço final é de 72,6 €.

Exercício 6

Em referência ao exercício anterior. Os dois aumentos consecutivos: a que porcentagem de um aumento único sobre o preço original do livro corresponde?

Solução

Se chamarmos o aumento percentual único de n%, a fórmula que relaciona esse aumento percentual único ao valor original e ao valor final é:

f2 = i * (1 + n / 100)

Quer dizer:

€ 72,6 = € 55 + € 55 * (n / 100)

Resolvendo o aumento percentual n% = (n / 100), temos:

(n / 100) = (€ 72,6 - € 55) / € 55 = € 17,6 / € 55 = 0,32

Portanto:

n = 0,32 * 100 = 32

Um aumento percentual total de 32% foi aplicado ao preço do livro. Observe que esse aumento é maior do que a soma dos dois aumentos percentuais consecutivos.

- Descontos percentuais sucessivos

A ideia é semelhante à de aumentos percentuais sucessivos. O segundo desconto percentual deve sempre ser aplicado ao valor final do primeiro desconto, vejamos um exemplo:

Exercício 7

Um desconto de 10% seguido por um segundo desconto de 20% em um item, qual é o desconto percentual único?

Solução

-Primeiro desconto:

f1 = i - i * n1 / 100 

-Segundo desconto

f2 = f1 - f1 * n2 / 100

Substituindo a primeira equação na segunda, permanece:

f2 = (i - i * n1 / 100) - (i - i * n1 / 100) * n2 / 100

Desenvolvendo esta expressão, obtemos:

f2 = i - i * n1 / 100 - i * n2 / 100 + i * (n1 / 100) (n2 / 100)

Tirando o fator comum Eu:

f2 = i * (1- n1% - n2% + n1% * n2%)

Por fim, os percentuais indicados na pergunta são substituídos:

f2 = i * (1 - 10% - 20% + 10% * 20%) = i * (1 - 0,1 - 0,2 + 0,1 * 0,2)

f2 = i * (1 - 0,3 + 0,02) = i * (0,72) = i * (1 - 0,28) = i * (1 - 28/100) = i * ( 1 - 28%)

Ou seja, sucessivos descontos de 10% e 20% correspondem a um único desconto de 28%.

Exercícios avançados

Vamos tentar esses exercícios apenas quando as idéias dos anteriores estiverem suficientemente claras.

Exercício 8

A base de um triângulo mede 10 cm e a altura 6 cm. Se o comprimento da base diminui em 10%, em que porcentagem a altura deve ser aumentada para que a área do triângulo não mude?

Solução 8

A área original do triângulo é:

A = (10cm * 6cm) / 2 = 30 cm2

Agora, se a base diminuir em 10%, então seu novo valor é:

Nova base = 10 - (10/100) x 10 = 9 cm.

O novo valor para a altura será X, e a área original deve permanecer inalterada, de modo que:

(9 cm * X) / 2 = 30 cm2

Então, o valor de X é resolvido como:

X = 60 cm2 / 9 cm = (20/3) cm = 6,666 cm

O que significa um aumento de 0,666 em relação ao valor original. Vamos ver agora qual porcentagem disso representa:

6.666 = 6 + (6 * n / 100)

6,666 -6 = 6 * n / 100

0.666 = 6 * n / 100

n / 100 = 0,111

n = 11,1

A resposta é: a altura deve ser aumentada em 11,1% para que a área do triângulo permaneça a mesma.

Exercício 9

Se o salário de um trabalhador aumenta em 20%, mas o imposto deduz 5%, ele se pergunta: qual é o aumento real que o trabalhador recebe?

Solução

Primeiro, calculamos o aumento de n1%:

f1 = i + i * n1 / 100

Então aplicamos o desconto de n2%:

f2 = f1 - f1 * n2 / 100

A primeira equação é substituída na segunda:

f2 = i + i * n1 / 100 - (i + i * n1 / 100) * n2 / 100

A expressão anterior é desenvolvida:

f2 = i + i * n1 / 100 - i * n2 / 100 - i * (n1 / 100) * (n2 / 100)

Finalmente é retirado Eufator comum e os valores de n1 = 20 e n2 = 5 que aparecem na declaração são substituídos:

f2 = i (1 + 0,2 - 0,05 - 0,2 * 0,05) = i * (1 + 7/50) = i * (1 + 14/100) = i * ( 1 + 14%)

O trabalhador recebeu um aumento líquido de 14%.

Exercício 10

Decida o que é mais conveniente entre essas duas opções:

i) Compre camisetas com desconto de 32% cada.

ii) Compre 3 camisas pelo preço de 2.

Solução

Analisamos cada opção separadamente e, em seguida, escolhemos a mais econômica:

i) Seja X o preço atual de uma camiseta, um desconto de 32% representa um preço final de Xf:

Xf = X - (32/100) X = X - 0,32X = 0,68X

Por exemplo, comprar 3 camisetas significa gastar 3 x 0,68 X = 2,04X

ii) Se X for o preço de uma camisa, por 3 camisas você pagará apenas 2X.

Suponha que uma t-shirt valha 6 euros, com o desconto de 32% valeria 4,08 euros. Comprar 1 camisa não é uma opção válida na oferta 3 × 2. Portanto, se quiser comprar apenas 1 camisa, o desconto é preferível.

Mas se você quiser comprar dezenas, a oferta 3 × 2 é apenas um pouco mais barata. Por exemplo, 6 t-shirts com o desconto custariam 24,48 euros, enquanto com a oferta 3 × 2 custariam 24 euros

Referências

  1. Sala de aula fácil. A porcentagem. Recuperado de: aulafacil.com
  2. Baldor A. 2006. Aritmética prática teórica. Edições culturais.
  3. Educa Peques. Como aprender a calcular percentagens. Recuperado de: educapeques.com
  4. Gutiérrez, G. Notas sobre matemática financeira. Recuperado de: csh.izt.uam.mx
  5. Carrapatos inteligentes. Porcentagem: o que é e como é calculado. Recuperado de: smartick.es