Polígonos regulares: propriedades, elementos, ângulos, exemplos - Ciência - 2023

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o polígonos regulares são aqueles que têm todos os lados e ângulos internos iguais. Na figura a seguir há um conjunto de diferentes polígonos, que são figuras planas limitadas por uma curva fechada e apenas aqueles que estão destacados atendem às condições de serem regulares.

Por exemplo, o triângulo equilátero é um polígono regular, pois seus três lados medem o mesmo, assim como seus ângulos internos, que valem 60º cada.

O quadrado é um quadrilátero com quatro lados de igual medida e cujos ângulos internos são de 90º. É seguido pelo pentágono regular, com cinco lados de igual tamanho e cinco ângulos internos de 108º cada.

Quando um polígono é regular, esta palavra é adicionada ao seu nome especial, então temos o hexágono regular, o heptágono regular e assim por diante.

Propriedades de polígonos regulares

As propriedades mais importantes de polígonos regulares podem ser resumidas da seguinte forma:

-Os lados têm a mesma medida, portanto são equilátero.

-Estão equiângulo, uma vez que todos os seus ângulos internos têm igual medida.

-Eles sempre podem ser inscritos em uma circunferência, o que significa que se encaixam perfeitamente dentro de uma, que é chamada circunferência circunscrita.

- Para um polígono regular com n lados, a medida de um ângulo interno α é:

α = [180 (n-2)] / n

-Você pode desenhar n (n-3) / 2 diagonais a partir dos vértices de um polígono, regular ou não.

-A soma do ângulos exteriores é igual a 360º.

Elementos de um polígono regular

A seguir apresentamos os principais elementos de um polígono regular, visualizados na figura abaixo.

Vértice

Ponto comum que dois lados consecutivos possuem, denotado como V na figura.

Lado

É o segmento que une dois vértices consecutivos do polígono e é denotado como ℓ ou L.

Diagonal

Segmento que une dois vértices não consecutivos do polígono, na figura é denotado como d.

Centro

É o centro comum do círculo inscrito e do círculo circunscrito, denotado pela letra O. Também pode ser visto como o único ponto equidistante de ambos os vértices e os pontos médios de cada lado.

Rádio

É o radio r do círculo circunscrito e coincide com a distância entre O e um vértice.

Apótema

Se denomina apótema ao raio da circunferência inscrito no polígono, representado na figura por uma letra para. O apótema é perpendicular a um lado e o une ao centro O (segmento vermelho na figura 3).

Conhecendo o raio re o comprimento do lado, o apótema é calculado por:

Visto que, na verdade, o apotema é uma das pernas de um triângulo retângulo (veja a figura 3), a outra perna sendo o valor de ℓ / 2 (metade de um lado) e a hipotenusa o raio r do polígono.

Quando o teorema de Pitágoras é aplicado a este triângulo, obtém-se esta equação, que é válida não apenas para o hexágono, mas para qualquer polígono regular.

Ângulo central

É o ângulo cujo vértice coincide com o centro O e cujos lados são os segmentos que unem o centro com dois vértices consecutivos. Sua medida em graus sexagesimais é 360º / n, onde n é o número de lados do polígono.

Sagita

É a diferença entre o raio do polígono e o apótema (ver figura 3). Denotando a sagitta como S:

S = r - a

Perímetro e área

Perímetro

É facilmente calculado adicionando os comprimentos dos lados. Uma vez que qualquer lado tem comprimento igual L e há n lados, o perímetro P é expresso como:

P = n.L

Área

Em um polígono regular, a área A é dada pelo produto entre o semiperímetro (metade do perímetro) e o comprimento do apótema para.

A = P.a / 2

Como o perímetro depende do número de lados n, verifica-se que:

A = (nL) .a / 2

Dois polígonos regulares podem ter o mesmo perímetro, mesmo que não tenham o mesmo número de lados, pois isso dependeria do comprimento dos lados.

No livro V dele Coleção, o matemático Pappus de Alexandria (290-350), o último dos grandes matemáticos gregos da antiguidade, mostrou que entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é aquele com o maior número de lados.

Ângulos

Os ângulos relevantes em um polígono regular são mostrados na Figura 4, denotados pelas letras gregas α, β e γ.

Ângulo central

Anteriormente mencionamos o ângulo central, entre os elementos do polígono regular, é o ângulo cujo vértice está no centro do polígono e os lados são os segmentos que unem o centro com dois vértices consecutivos.

Para calcular a medida do ângulo central α, divida 360º por n, o número de lados. Ou 2π radianos entre n:

α = 360º / n

Equivalente em radianos a:

α = 2π / n

Ângulo interno ou ângulo interno

Na figura 4 o ângulo interno β é aquele cujo vértice coincide com um da figura e seus lados são lados da figura também. É calculado em graus sexagesimais por:

β = [180 (n-2)] / n

Ou em radianos usando:

β = [π (n-2)] / n

Ângulos externos

Eles são denotados pela letra grega γ. A figura mostra que γ + β = 180º. Portanto:

γ = 180º – β

A soma de todos os ângulos externos para um polígono regular é 360º.

Exemplos de polígonos regulares

Em seguida, temos os primeiros 8 polígonos regulares. Observamos que à medida que o número de lados aumenta, o polígono torna-se cada vez mais semelhante à circunferência em que estão inscritos.

Podemos imaginar que, tornando o comprimento dos lados cada vez menores e aumentando o número deles, obtemos a circunferência.

- Polígonos regulares na vida diária e na natureza

Os polígonos regulares são encontrados em toda a vida cotidiana e até mesmo na natureza. Vejamos alguns exemplos:

Sinais de trânsito

Polígonos regulares, como triângulos equiláteros, quadrados e losangos são abundantes na sinalização que vemos em rodovias e estradas. Na figura 6, vemos um sinal de parada octogonal.

Mobília

Inúmeros móveis têm o quadrado, por exemplo, como uma figura geométrica característica, assim como muitas mesas, cadeiras e bancos são quadrados. Um paralelepípedo é geralmente uma caixa com lados em forma de retângulo (que não é um polígono regular), mas também pode ser quadrada.

Arquitetura e construção

Ladrilhos ou ladrilhos em pisos e paredes, tanto em casas quanto nas ruas, geralmente têm o formato de polígonos regulares.

Pavimentações são superfícies totalmente cobertas por ladrilhos de diferentes formas geométricas. Com o triângulo, o quadrado e o hexágono você pode fazer tesselações regulares, aquelas que usam apenas um tipo de figura para cobrir perfeitamente, sem deixar espaços vazios (ver figura 6).

Da mesma forma, os edifícios fazem uso dos polígonos regulares em elementos como janelas e decoração.

- Hexágonos regulares na natureza

Surpreendentemente, o hexágono regular é um polígono que aparece com frequência na natureza.

Os favos de mel feitos pelas abelhas para armazenar mel têm um formato muito aproximado para um hexágono regular. Como observou Pappus de Alexandria, dessa forma as abelhas otimizam o espaço para armazenar o máximo de mel possível.

E também existem hexágonos regulares nas cascas das tartarugas e dos flocos de neve, que também assumem várias formas geométricas muito bonitas.

Exercício resolvido

Um hexágono regular está inscrito em um semicírculo de raio de 6 cm, conforme mostrado na figura. Qual é o valor da área sombreada?

Solução

A área sombreada é a diferença entre a área do semicírculo com raio R = 6 cm e a área de todo o hexágono, um polígono regular de 6 lados. Portanto, precisaremos de fórmulas para a área de cada uma dessas figuras.

Área semicírculo

PARA₁ = π R² / 2 = π (6 cm)² / 2 = 18π cm²

Área do hexágono regular

A fórmula para calcular a área de um polígono regular é:

A = P.a / 2

Onde P é o perímetro e para é o apótema. Como o perímetro é a soma dos lados, precisaremos do valor deles. Para o hexágono regular:

P = 6ℓ

Portanto:

A = 6ℓa / 2

Para encontrar o valor do lado ℓ, é necessário construir figuras auxiliares, que explicaremos a seguir:

Vamos começar com o pequeno triângulo direito à esquerda, cuja hipotenusa é ℓ. Um ângulo interno do hexágono é igual a:

α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º

O raio que desenhamos em verde corta este ângulo ao meio, portanto o ângulo agudo do pequeno triângulo é 60º. Com as informações fornecidas, este triângulo é resolvido, encontrando o lado azul claro, que mede o mesmo que o apótema:

Perna oposta = a = ℓ x sen 60º = ℓ√3 / 2 cm

Este valor é o duplo da perna azul-escura do grande triângulo à direita, mas a partir desse triângulo sabemos que a hipotenusa mede 6 cm porque é o raio do semicírculo. A perna restante (inferior) é igual a ℓ / 2, pois o ponto O está no meio do lado.

Uma vez que os ângulos internos deste triângulo não são conhecidos, podemos afirmar o teorema de Pitágoras para ele:

36 = 3 ℓ² + ℓ² / 4

(13/4) ℓ² = 36 → ℓ = √ (4 x 36) / 13 cm = 12 / √13 cm

Com este valor o apotema é calculado:

a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm

Vamos ligar₂ para a área do hexágono regular:

= 28,8 cm²

Área de figura sombreada

PARA₁ - PARA₂ = 18π cm² - 28,8 cm² = 27,7 cm²

Referências

Baldor, A. 1973. Geometria e trigonometria. Editora Cultural da América Central.
Aprecie a matemática. Tesselações. Recuperado de: enjoylasmatematicas.com.
E. A. 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
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Jiménez, R. 2010. Mathematics II. Geometria e trigonometria. Segunda edição. Prentice Hall.
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Wikipedia. Apótema. Recuperado de: es.wikipedia.org.