Método de Euler: para que serve, procedimento e exercícios - Ciência - 2023

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o Método de Euler É o mais básico e mais simples dos procedimentos usados para encontrar soluções numéricas aproximadas para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, desde que sua condição inicial seja conhecida.

Uma equação diferencial ordinária (ODE) é a equação que relaciona uma função desconhecida de uma única variável independente com suas derivadas.

Se a maior derivada que aparece na equação é de grau um, então é uma equação diferencial ordinária de primeiro grau.

A maneira mais geral de escrever uma equação de primeiro grau é:

x = x₀

y = y₀

Qual é o método de Euler?

A ideia do método de Euler é encontrar uma solução numérica para a equação diferencial no intervalo entre X₀e X_F .

Primeiro, o intervalo é discretizado em n + 1 pontos:

x₀, x₁, x₂, x₃..., x_n

Que são obtidos assim:
x_Eu= x₀+ ih

Onde h é a largura ou passo dos subintervalos:

Com a condição inicial, então também é possível saber a derivada no início:

y '(x_ou) = f (x_ou, Y_ou)

Esta derivada representa a inclinação da linha tangente à curva da função y (x) precisamente no ponto:

Ao = (x_ou, Y_ou)

Então, uma previsão aproximada do valor da função y (x) é feita no seguinte ponto:

y (x₁) ≈ e₁

Y₁₌Y_ou+ (x₁- x_ou) f (x_ou, Y_ou) = e_{ou +}h f (x_ou, Y_ou)

O próximo ponto aproximado da solução foi então obtido, o que corresponderia a:

PARA₁ = (x₁, Y₁)

O procedimento é repetido para obter os pontos sucessivos

PARA₂, PARA₃..., x_n

Na figura mostrada no início, a curva azul representa a solução exata da equação diferencial, e a vermelha representa os pontos aproximados sucessivos obtidos pelo procedimento de Euler.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Eu) Seja a equação diferencial:

Com a condição inicial x = a = 0; Y_para= 1

Usando o método de Euler, obtenha uma solução aproximada de Y na coordenada X = b = 0,5, subdividindo o intervalo [a, b] em n = 5 partes.

Solução

Os resultados numéricos são resumidos da seguinte forma:

Daí se conclui que a solução Y para o valor 0,5 é 1,4851.

Nota: para realizar os cálculos, Estúdio Smath, programa gratuito para uso gratuito.

Exercício 2

II) Continuando com a equação diferencial do exercício I), encontre a solução exata e compare-a com o resultado obtido pelo método de Euler. Encontre o erro ou a diferença entre o resultado exato e o aproximado.

Solução

A solução exata não é muito difícil de encontrar. A derivada da função sin (x) é conhecida como a função cos (x). Portanto, a solução y (x) será:

y (x) = sin x + C

Para que a condição inicial seja atendida e (0) = 1, a constante C deve ser igual a 1. O resultado exato é então comparado com o aproximado:

Conclui-se que, no intervalo calculado, a aproximação possui três algarismos significativos de precisão.

Exercício 3

III) Considere a equação diferencial e suas condições iniciais fornecidas abaixo:

y '(x) = - y²

Com a condição inicial x₀ = 0; Y₀ = 1

Use o método de Euler para encontrar valores aproximados da solução y (x) no intervalo x = [0, 1,5]. Passo de uso h = 0,1.

Solução

O método de Euler é muito adequado para uso com planilhas. Neste caso vamos usar a planilha geogebra, um programa gratuito e de uso gratuito.

Na planilha da figura, três colunas são mostradas (A, B, C) a primeira é a variável x , a segunda coluna representa a variável Y, e a terceira coluna a derivada Y '.

A linha 2 contém os valores iniciais de X, Y, Y ' .

O valor da etapa 0,1 foi colocado na célula de posição absoluta ($ D $ 4).

O valor inicial de y0 está na célula B2 e y1 na célula B3. Para calcular y₁ a fórmula é usada:

Y₁₌Y_ou+ (x₁- x_ou) f (x_ou, Y_ou) = e_{ou +}h f (x_ou, Y_ou)

Esta fórmula de planilha seria o Número B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Da mesma forma, y2 estaria na célula B4 e sua fórmula é mostrada na figura a seguir:

A figura também mostra o gráfico da solução exata e os pontos A, B, ..., P da solução aproximada pelo método de Euler.

Dinâmica newtoniana e método de Euler

A dinâmica clássica foi desenvolvida por Isaac Newton (1643 - 1727). A motivação original de Leonard Euler (1707 - 1783) para desenvolver seu método, foi justamente resolver a equação da segunda lei de Newton em várias situações físicas.

A segunda lei de Newton é geralmente expressa como uma equação diferencial de segundo grau:

Onde x representa a posição de um objeto no instante t. O referido objeto tem uma massa m e é submetido a uma força F. A função F está relacionado à força e massa da seguinte forma:

Para aplicar o método de Euler, os valores iniciais de tempo são necessários t, Rapidez v e posição x.

A tabela a seguir explica como a partir dos valores iniciais t1, v1, x1 uma aproximação da velocidade v2 e da posição x2 pode ser obtida, no instante t2 = t1 + Δt, onde Δt representa um pequeno aumento e corresponde à etapa no método de Euler.

Exercício 4

IV) Um dos problemas fundamentais em mecânica é o de um bloco de massa M amarrado a uma mola (ou mola) de constante elástica K.

A segunda lei de Newton para este problema seria assim:

Neste exemplo, para simplificar, tomaremos M = 1 e K = 1. Encontre soluções aproximadas para posicionar x e velocidade v pelo método de Euler no intervalo de tempo [0, π / 2] subdividindo o intervalo em 12 partes.

Considere 0 como o instante inicial, a velocidade inicial 0 e a posição inicial 1.

Solução

Os resultados numéricos são mostrados na seguinte tabela:

Os gráficos de posição e velocidade entre os tempos 0 e 1,44 também são exibidos.

Exercícios propostos para casa

Exercício 1

Use uma planilha para determinar uma solução aproximada usando o método de Euler para a equação diferencial:

y ’= - Exp (-y) com as condições iniciais x = 0, y = -1 no intervalo x = [0, 1]

Comece com um passo de 0,1. Trace o resultado.

Exercício 2

Usando uma planilha, encontre soluções numéricas para a seguinte equação quadrática, onde y é uma função da variável independente t.

y ’’ = -1 / y² com a condição inicial t = 0; e (0) = 0,5; y '(0) = 0

Encontre a solução no intervalo [0,5; 1.0] usando uma etapa de 0,05.

Trace o resultado: y vs t; y 'vs t

Referências

Método Eurler retirado de wikipedia.org
Solucionador de Euler. Retirado de en.smath.com