Semicírculo: como calcular perímetro, área, centróide, exercícios - Ciência - 2023

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o semicírculo é uma figura plana delimitada por um diâmetro da circunferência e um dos dois arcos circulares planos determinados por esse diâmetro.

Desta forma, um semicírculo é delimitado por um semicircunferência, que consiste em um arco circular plano e um segmento reto que une as extremidades do arco circular plano. O semicírculo abrange o semicírculo e todos os pontos dentro dele.

Podemos ver isso na figura 1, que mostra um semicírculo de raio R, cuja medida é a metade do diâmetro AB. Observe que, ao contrário de um círculo, no qual existem diâmetros infinitos, no semicírculo existe apenas um diâmetro.

O semicírculo é uma figura geométrica com diversos usos na arquitetura e no design, como podemos ver na imagem a seguir:

Elementos e medidas de um semicírculo

Os elementos de um semicírculo são:

1.- O arco circular plano A⌒B

2.- O segmento [AB]

3.- Os pontos dentro do semicírculo composto pelo arco A⌒B e o segmento [AB].

Perímetro de um semicírculo

O perímetro é a soma do contorno do arco mais aquele do segmento reto, portanto:

Perímetro = comprimento do arco A⌒B + comprimento do segmento [AB]

No caso de um semicírculo de raio R, seu perímetro P será dado pela fórmula:

P = π⋅R + 2⋅R = (π + 2) ⋅R

O primeiro termo é a metade do perímetro de um círculo de raio R, enquanto o segundo é o comprimento do diâmetro, que é o dobro do raio.

Área de um semicírculo

Visto que um semicírculo é um dos setores angulares planos que permanecem ao desenhar um diâmetro através da circunferência, sua área A será a metade da área do círculo que contém o semicírculo de raio R:

A = (π⋅R²) / 2 = ½ π⋅R²

Centróide de um semicírculo

O centróide de um semicírculo está em seu eixo de simetria a uma altura medida a partir de seu diâmetro de 4 / (3π) vezes o raio R.

Isso corresponde a aproximadamente 0,424⋅R, medido a partir do centro do semicírculo e em seu eixo de simetria, conforme mostrado na Figura 3.

Momento de inércia de um semicírculo

O momento de inércia de uma figura plana em relação a um eixo, por exemplo, o eixo x, é definido como:

A integral do quadrado da distância dos pontos pertencentes à figura ao eixo, sendo o diferencial de integração um elemento infinitesimal de área, tomado na posição de cada ponto.

A Figura 4 mostra a definição do momento de inércia I_x do semicírculo de raio R, em relação ao eixo X que passa por sua diagonal:

O momento de inércia em torno do eixo x é dado por:

Eu_x = (π⋅R⁴) / 8

E o momento de inércia em relação ao eixo de simetria y é:

Iy = (π⋅R⁴) / 8

Nota-se que ambos os momentos de inércia coincidem em sua fórmula, mas é importante destacar que se referem a eixos distintos.

Ângulo inscrito

O ângulo inscrito no semicírculo é sempre 90º. Independentemente de onde o ponto é tirado no arco, o ângulo entre os lados AB e BC da figura está sempre correto.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine o perímetro de um semicírculo de raio de 10 cm.

Solução

Lembre-se de que o perímetro em função do raio é dado pela fórmula que vimos anteriormente:

P = (2 + π) ⋅R

P = (2 + 3,14) ⋅ 10 cm = 5,14 ⋅ 10 cm = 51,4 cm.

Exercício 2

Encontre a área de um semicírculo com raio de 10 cm.

Solução

A fórmula para a área de um semicírculo é:

A = ½ π⋅R² = ½ π⋅ (10cm)² = 50π cm² = 50 x 3,14 cm² = 157 cm².

Exercício 3

Determine a altura h do centróide de um semicírculo de raio R = 10 cm medido a partir de sua base, sendo o diâmetro do semicírculo o mesmo.

Solução

O centróide é o ponto de equilíbrio do semicírculo e sua posição está no eixo de simetria a uma altura h da base (diâmetro do semicírculo):

h = (4⋅R) / (3π) = (4⋅10 cm) / (3 x 3,14) = 4,246 cm

Exercício 4

Encontre o momento de inércia de um semicírculo em relação ao eixo que coincide com seu diâmetro, sabendo que o semicírculo é feito de uma folha fina. Seu raio é de 10 cm e sua massa é de 100 gramas.

Solução

A fórmula que dá o momento de inércia do semicírculo é:

Eu_x = (π⋅R⁴) / 8

Mas, uma vez que o problema nos diz que é um semicírculo material, a relação anterior deve ser multiplicada pela densidade de massa da superfície do semicírculo, que será denotada por σ.

Eu_x = σ (π⋅R⁴) / 8

Em seguida, passamos a determinar σ, que nada mais é do que a massa do semicírculo dividida por sua área.

A área foi determinada no exercício 2 e o resultado foi de 157 cm². Então, a densidade da superfície deste semicírculo será:

σ = 100 gramas / 157 cm² = 0,637 g / cm²

Então o momento de inércia em relação ao diâmetro será calculado assim:

Eu_x = (0,637 g / cm²) [3,1416 ⋅ (10cm)⁴] / 8

Resultando:

Eu_x = 2502 g⋅cm²

Exercício 5

Determine o momento de inércia de um semicírculo de raio de 10 cm construído com uma folha de material com densidade de área de 0,637 g / cm² ao longo de um eixo que passa pelo seu centróide e é paralelo ao seu diâmetro.

Solução

Para resolver este exercício é necessário lembrar o teorema de Steiner sobre os momentos de inércia de eixos paralelos, que se lê assim:

O momento de inércia I em relação a um eixo que está a uma distância h do centróide é igual à soma do momento de inércia I_c em relação a um eixo que passa pelo centróide e é paralelo ao primeiro mais o produto da massa pelo quadrado da separação dos dois eixos.

Eu = eu_c+ M h²

No nosso caso, I é conhecido como o momento de inércia em relação ao diâmetro, que já foi calculado no exercício 4. Também é conhecida a separação h entre o diâmetro e o centróide, que foi calculada no exercício 3.

Só temos que limpar Ic:

Eu_c = I - M h²

Eu_c= 2502 g⋅cm² - 100g ⋅ (4,246 cm)² dando como resultado que o momento de inércia através de um eixo paralelo ao diâmetro e passando pelo centróide é:

Eu_c = 699,15 g⋅cm²

Referências

Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Referência de matemática aberta. Semicírculo. Recuperado de: mathopenref.com.
Universe Formulas Semicircle. Recuperado de: universoformulas.com.
Fórmulas do universo. Área de um semicírculo. Recuperado de: universoformulas.com.
Wikipedia. Semicírculo. Recuperado de: en.wikipedia.com.