Matriz inversa: cálculo e exercício resolvido - Ciência - 2023

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o Matriz inversa de uma dada matriz, é a matriz que multiplicou pelos resultados originais na matriz identidade. A matriz inversa é útil para resolver sistemas de equações lineares, daí a importância de saber calculá-la.

As matrizes são muito úteis em física, engenharia e matemática, pois são uma ferramenta compacta para resolver problemas complexos. A utilidade das matrizes é aumentada quando elas são invertíveis e seu inverso também é conhecido.

Nas áreas de processamento gráfico, Big Data, Data Mining, Machine Learning e outros, algoritmos eficientes e rápidos são utilizados para avaliar a matriz inversa de matrizes nxn com n muito grande, da ordem de milhares ou milhões.

Para ilustrar o uso da matriz inversa no tratamento de um sistema de equações lineares, começaremos com o caso mais simples de todos: matrizes 1 × 1.

O caso mais simples: uma equação linear de uma única variável é considerada: 2 x = 10.

A ideia é encontrar o valor de x, mas será feito "matriz".

A matriz M = (2) que multiplica o vetor (x) é uma matriz 1 × 1 que resulta no vetor (10):

M (x) = (10)

O inverso da matriz M é denotado por M^-1.

A maneira geral de escrever este "sistema linear" é:

M X = B, onde X é o vetor (x) e B é o vetor (10).

Por definição, a matriz inversa é aquela que multiplicada pelos resultados da matriz original na matriz identidade I:

M^-1 M = I

No caso considerado, a matriz M^-1 é a matriz (½), ou seja, M^-1 = (½) desde M^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Para encontrar o vetor desconhecido X = (x), na equação proposta, ambos os membros são multiplicados pela matriz inversa:

M^-1 M (x) = M^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Foi alcançada uma igualdade de dois vetores, que são iguais apenas quando seus elementos correspondentes são iguais, ou seja, x = 5.

Cálculo do inverso de uma matriz

O que motiva o cálculo da matriz inversa é encontrar um método universal para a solução de sistemas lineares, como o seguinte sistema 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Seguindo os passos do caso 1 × 1, estudado na seção anterior, escrevemos o sistema de equações em forma de matriz:

Observe que este sistema é escrito em notação vetorial compacta da seguinte maneira:

M X = B

Onde

A próxima etapa é encontrar o inverso de M.

Método 1: Usando Eliminação Gaussiana

O método de eliminação gaussiana será aplicado. Que consiste em fazer operações elementares nas linhas da matriz, essas operações são:

- Multiplique uma linha por um número diferente de zero.

- Adicionar ou subtrair outra linha de uma linha ou o múltiplo de outra linha.

- Troque as linhas.

O objetivo é, por meio dessas operações, converter a matriz original na matriz identidade.

Quando isso é feito, exatamente as mesmas operações se aplicam à matriz identidade na matriz M. Quando após várias operações nas linhas M é transformado em matriz unitária, então aquela que era originalmente a unidade será transformada na matriz inversa de M, ou seja, M^-1.

1- Iniciamos o processo escrevendo a matriz M e ao lado dela a matriz unitária:

2- Adicionamos as duas linhas e colocamos o resultado na segunda linha, desta forma obtemos um zero no primeiro elemento da segunda linha:

3- Multiplicamos a segunda linha por -1 para obter 0 e 1 na segunda linha:

4- A primeira linha é multiplicada por ½:

5- O segundo e o primeiro são adicionados e o resultado é colocado na primeira linha:

6- No final do processo, a primeira linha é multiplicada por 2 para obter a matriz identidade na primeira linha e a matriz inversa da matriz original M na segunda:

Quer dizer:

Solução de sistema

Uma vez que a matriz inversa foi obtida, passamos a resolver o sistema de equações aplicando a matriz inversa a ambos os membros da equação vetorial compacta:

M^-1M X = M^-1B

X = M^-1B

Que se parece explicitamente com isto:

Em seguida, a multiplicação da matriz é realizada para obter o vetor X:

Método 2: usando matriz anexada

Neste segundo método, a matriz inversa é calculada a partir da matriz adjacente da matriz original PARA.

Suponha uma matriz A dada por:

para onde_{eu j} é o elemento da linha Eu e a coluna j da matriz PARA.

O anexo da matriz PARA será chamado Adj (A) e seus elementos são:

de Anúncios_{eu j} = (-1)^{(i + j)} ¦ Ai, j¦

Onde Ai, j é a matriz secundária complementar obtida pela eliminação da linha i e coluna j da matriz original PARA. As barras ¦ ¦ indicam que o determinante é calculado, isto é ¦Ai, j¦ é o determinante da matriz complementar menor.

Fórmula de matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa a partir da matriz adjacente da matriz original é a seguinte:

Ou seja, a matriz inversa de PARA, PARA^-1, é a transposição do adjunto de PARA dividido pelo determinante de PARA.

A transposta PARA^Tde uma matriz PARA É aquela obtida na troca de linhas por colunas, ou seja, a primeira linha passa a ser a primeira coluna e a segunda linha passa a ser a segunda coluna e assim sucessivamente até que as n linhas da matriz original sejam completadas.

Exercício resolvido

Seja a matriz A a seguinte:

Todo e qualquer elemento da matriz adjunta de A é calculado: Adj (A)

Resultando que a matriz adjunta de A, Adj (A) é a seguinte:

Em seguida, o determinante da matriz A, det (A) é calculado:

Finalmente, a matriz inversa de A é obtida:

Referências

Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Publicação de aprovação.
Awol Assen (2013) Um estudo sobre o cálculo dos determinantes de um 3 × 3
Casteleiro Villalba M. (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.
Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
Jenny Olive (1998) Maths: A Student’s Survival Guide. Cambridge University Press.
Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: As 50 teorias que mais expandem a mente na matemática. Ivy Press Limited.
Matriz. Publicação acadêmica de Lap Lambert.