Lei de Ampère: fórmula e equações, prova, exercícios - Ciência - 2023

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o Lei de Ampère afirma que a circulação do vetor de indução magnética B é proporcional à intensidade I da corrente que flui através dele.

Por sua vez, a circulação de B é a soma de todos os produtos entre o componente tangencial B_║ e o comprimento de um pequeno segmento Δℓ de uma curva fechada C, em torno de um circuito. Em termos matemáticos, é escrito assim:

∑ B_║ .Δℓ ∝ Eu

Como uma linha arbitrária ou curva C, pode ser dividida em pequenos segmentos Δℓ, e estes, por sua vez, podem ser infinitesimais, então são chamados de dℓ.

Nesse caso, a soma torna-se uma linha integral do produto escalar entre os vetores B e ds. O referido produto contém o componente tangencial de B, que é B cosθ, onde θ é o ângulo entre os vetores:

O pequeno círculo através da integral significa que a integração ocorre em um caminho fechado C, que neste caso envolve a corrente fluindo através da seção transversal do condutor.

A constante de proporcionalidade necessária para estabelecer a igualdade é μ_ou, a permeabilidade do vácuo. Desta forma, a lei de Ampère é:

A lei de Ampère nos diz que a integral de linha ∫_CB ∙ ds é exatamente μ_ouI, mas não nos dá os detalhes sobre como o campo magnético é orientado B em relação à curva C em cada ponto, nem em como calcular a integral. Apenas nos diz que o resultado disso é sempre μ_ouEU.

Prova da lei de Ampère

A lei de Ampère é verificada experimentalmente pela verificação do campo magnético produzido por um condutor retilíneo muito longo. Antes de abordar o problema, dois casos de interesse especial devem ser destacados na equação anterior:

-O primeiro é quando B e ds são paralelos, o que significa que B é tangencial a C. Então o ângulo entre os dois vetores é 0º e o produto escalar é simplesmente o produto das magnitudes B.ds.

-O segundo ocorre se B e ds são perpendiculares, caso em que o produto escalar é 0, pois o ângulo entre os vetores é 90º, cujo cosseno é 0.

Outro detalhe importante é a escolha da curva C na qual a circulação do campo é avaliada. A lei de Ampère não especifica o que pode ser, mas deve envolver a distribuição atual. Também não diz em que direção contornar a curva e há duas possibilidades para isso.

A solução é atribuir sinais de acordo com a regra do polegar direito. Os quatro dedos são curvados na direção que você deseja integrar, geralmente será o mesmo que o campo B circular. Se a corrente apontar na direção do polegar direito, é atribuído um sinal + e, se não, um sinal -.

Isso se aplica quando há uma distribuição com várias correntes, algumas podem ser positivas e outras negativas. A soma algébrica deles é aquela que vamos colocar na lei de Ampère, que normalmente é chamada de atual bloqueado (pela curva C).

Campo magnético de fio retilíneo e infinito

Na Figura 2 é mostrado um fio transportando uma corrente I fora do plano. A regra do polegar direito garante que B Ele circula no sentido anti-horário, descrevendo as circunferências mostradas pelas setas vermelhas.

Vamos pegar um deles, cujo raio é r.Nós o dividimos em pequenos segmentos diferenciais ds, representado pelos vetores em azul. Ambos os vetores, B e ds, são paralelos em todos os pontos da circunferência e, portanto, a integral ∫_CB ∙ ds Ele se transforma em:

∫_C Bds

Isso ocorre porque, como dissemos antes, o produto escalar B ∙ ds é o produto das magnitudes dos vetores pelo cosseno de 0º. Conhecemos o resultado da integral graças à lei de Ampère, por isso escrevemos:

∫_C Bds = μ_ouEu

Uma vez que a magnitude do campo é constante ao longo de toda a trajetória, ele deixa o integral:

B ∫_C ds = μ_ouEu

O integral ∫_C ds representa a soma de todos os segmentos infinitesimais que compõem a circunferência do raio r, equivalente ao comprimento dele, o produto de seu raio por 2π:

B.2πr = μ_ouEu

E a partir daí descobrimos que a magnitude de B é:

B = μ_ouI / 2πr

Deve ser enfatizado que mesmo que o caminho selecionado (ou circuito ampereiano) não era circular, o resultado da integral permanece μ_ouEu, porém ∫_CB ∙ ds não seria mais B.2πr.

É por isso que a utilidade da lei de Ampère para determinar o campo magnético está em escolher distribuições com alta simetria, de forma que a integral seja fácil de avaliar. Caminhos circulares e retilíneos atendem a esse requisito.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Considere as curvas a, b, c e d mostradas na Figura 3. Elas envolvem três correntes, duas saindo do plano, simbolizadas por um ponto ( . ), cujas intensidades são 1 A e 5 A, e uma corrente que entra no plano, que é denotada por uma cruz e cuja magnitude é 2 A.

Encontre a corrente envolvida por cada curva.

Solução

As correntes que saem do papel recebem um sinal +. De acordo com isso:

Curva a

Inclui as três correntes, portanto a corrente incluída é + 1 A + 5 A - 2 A = 4 A.

Curva b

Apenas as correntes de 1 A e - 2 A estão dentro desta curva, portanto a corrente incluída é - 2 A.

Curva c

Inclui as correntes de saída 1A e 5 A, portanto a corrente travada é 6 A.

Curva d

As correntes dentro dele são +5 A e - 2 A, então ele contém uma corrente líquida de 3 A.

- Exercício 2

Calcule a magnitude do campo magnético produzido por um fio reto muito longo, em um ponto localizado a 1 metro dele, se o fio transportar uma corrente de 1 A.

Solução

De acordo com a lei de Ampère, o campo do fio é dado por:

B = μ_ouI / 2πr = (4π x 10^-7 x 1 / 2π x 1) T = 2 x 10^-7 T.

Referências

Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 6. Eletromagnetismo. Editado por Douglas Figueroa (USB).
Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 2.
Serway, R. 2009. College Physics. Cengage Learning.
Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5ª Ed. Volume 2. Editorial Reverté.