Ondas estacionárias: fórmulas, características, tipos, exemplos - Ciência - 2023

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As ondas estacionárias São ondas que se propagam em um meio limitado, indo e vindo em uma parte do espaço, ao contrário das ondas viajantes, que ao se propagarem se afastam da fonte que as originou e não retornam a ela.

São a base dos sons produzidos nos instrumentos musicais, pois surgem facilmente em cordas fixas, seja em uma extremidade ou em ambas. Eles também são criados em membranas apertadas, como tambores ou dentro de tubos e estruturas, como pontes e edifícios.

Quando você tem uma corda fixa em ambas as pontas, como a de um violão, por exemplo, são criadas ondas com amplitude e frequência idênticas, que viajam em direções opostas e se combinam para produzir um fenômeno chamado interferência.

Se as ondas estão em fase, os picos e vales ficam alinhados e resultam em uma onda com o dobro da amplitude. Nesse caso, falamos de interferência construtiva.

Mas se as ondas interferentes estão fora de fase, os picos de uma encontram os vales das outras e a amplitude resultante é zero. Trata-se então de interferência destrutiva.

Fórmulas e equações

Os principais elementos da onda para representá-la no espaço e no tempo são sua amplitude A, seu comprimento de onda λ e sua frequência angular ω.

Na representação matemática, é preferível usar k, do que o número de onda ou o número de vezes que a onda ocorre por unidade de comprimento. É por isso que é definido através do comprimento de onda λ que é a distância entre dois vales ou duas cristas:

k = 2π / λ

Enquanto o frequência angular refere-se ao período ou duração de uma oscilação completa, como:

ω = 2π / T

E também a frequência f é dada por:

f = ω / 2π

Portanto:

f = 1 / T

Além disso, as ondas se movem com velocidade v de acordo:

v = λ.f

Expressão matemática da onda estacionária

Matematicamente, podemos expressar uma onda pela função seno ou a função cosseno. Suponha que temos ondas de igual amplitude A, comprimento de onda λ e frequência ω, propagando-se ao longo de uma corda e em direções opostas:

Y₁ = A sin (kx - ωt)

Y₂ = A sin (kx + ωt)

Ao adicioná-los, encontramos a onda resultante e_R:

Y_R= e₁+ e₂= A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)

Existe uma identidade trigonométrica para encontrar a soma:

sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (α - β) / 2

Por esta identidade, a onda resultante y_R permanece:

Y_R = [2A sen kx]. cos ωt

Localização de nós e barrigas

A onda resultante tem amplitude A_R = 2Asen kx, que depende da posição da partícula. Então, nos pontos em que sen kx = 0, a amplitude da onda desaparece, ou seja, não há vibração.

Esses pontos são:

kx = π, 2π, 3π ...

Como k = 2 π / λ:

(2 π / λ) x = π, 2π, 3π…

x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...

Em tais pontos, ocorrem interferências destrutivas e são chamadas nós. Eles são separados por uma distância igual a λ / 2, como segue do resultado anterior.

E entre dois nós consecutivos estão os antinodos ou barrigas, em que a amplitude da onda é máxima, já que ali ocorre interferência construtiva. Eles ocorrem quando:

sin kx = ± 1

kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2…

Novamente k = 2 π / λ e então:

x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4, ...

Modos normais em uma string

As condições de contorno na string determinam como são os comprimentos de onda e as frequências. Se uma corda de comprimento L é fixada em ambas as extremidades, ela não pode vibrar em nenhuma frequência, porque os pontos onde a corda está fixada já são nós.

Além disso, a separação entre os nós adjacentes é λ / 2, e entre o nó e a barriga é λ / 4, desta forma, apenas para certos comprimentos de onda são produzidas ondas estacionárias: aquelas em que um inteiro n de λ / 2 é encaixado dentro do:

(λ / 2) = L, com n = 1, 2, 3, 4….

Portanto:

λ = 2L / n

Harmônicos

Os diferentes valores que λ assume são chamados harmônicos. Assim, temos:

-Primeiro harmônico: λ = 2L

-Segundo harmônico: λ = L

- Terceiro harmônico: λ = 2 L / 3

-Quarta harmônica: λ = L / 2

E assim por diante.

Velocidade e freqüência

Embora a onda estacionária não pareça se mover, a equação ainda é válida:

v = λ. F

Portanto:

v = (2L / n). F

f = nv / 2L

Agora, pode ser mostrado que a velocidade com que uma onda viaja em uma corda depende da tensão T nela e de sua densidade linear de massa μ (massa por unidade de comprimento) como:

Portanto:

Características das ondas estacionárias

-Quando as ondas estão estacionárias, a onda resultante não se propaga da mesma forma que seus componentes, que vão de um lado para o outro. Existem pontos onde y = 0 porque não há vibração: os nós, ou seja, a amplitude A_R torna-se zero.

-A expressão matemática de uma onda estacionária consiste no produto de uma parte espacial (que depende da coordenada x ou das coordenadas espaciais) e uma parte temporal.

-Entre os nós, a onda negra resultante oscila em um lugar, enquanto as ondas que vão de um lado para o outro estão desfasadas ali.

-Só nos nós, nenhuma energia é transportada, pois esta é proporcional ao quadrado da amplitude, mas fica presa entre os nós.

-A distância entre nós adjacentes é a metade do comprimento de onda.

-Os pontos em que a corda é fixada também são considerados nós.

Tipos

Ondas estacionárias em uma dimensão

As ondas em uma corda fixa são exemplos de ondas estacionárias em uma dimensão, cuja descrição matemática oferecemos nas seções anteriores.

Ondas estacionárias em duas e três dimensões

As ondas estacionárias também podem ser apresentadas em duas ou três dimensões, sendo sua descrição matemática um pouco mais complexa.

Exemplos de ondas estacionárias

Cordas fixas

-Uma corda fixa em uma extremidade que é oscilada manualmente ou com um pistão na outra gera ondas estacionárias ao longo de seu comprimento.

Instrumentos musicais

-Ao tocar instrumentos de cordas como violão, harpa, violino e piano, também são criadas ondas estacionárias, pois possuem cordas ajustadas a diferentes tensões e fixadas em ambas as pontas.

As ondas estacionárias também são criadas em tubos de ar, como tubos de órgãos.

Edifícios e pontes

As ondas estacionárias surgem em estruturas como pontes e edifícios. Um caso notável foi a ponte suspensa Tacoma Narrows, perto da cidade de Seattle, nos Estados Unidos. Pouco depois de ser inaugurada em 1940, esta ponte ruiu devido às ondas estacionárias criadas pelo vento.

A frequência do vento foi emparelhada com a frequência natural da ponte, criando ondas estacionárias nela, que foram aumentando em amplitude até que a ponte desabou. O fenômeno é conhecido como ressonância.

Seiches

Nos portos existe um fenômeno muito curioso chamado Seiche, em que as ondas do mar produzem grandes oscilações. Isso se deve ao fato de que as águas do porto são bastante fechadas, embora as águas oceânicas penetrem de vez em quando pela entrada do porto.

As águas portuárias se movem com frequência, assim como as águas do oceano. Se ambas as águas igualarem suas frequências, uma grande onda estacionária é produzida por ressonância, como aconteceu com a ponte de Tacoma.

o Seiches Eles também podem ocorrer em lagos, reservatórios, piscinas e outros corpos d'água de superfície limitada.

Tanques de peixes

Ondas estacionárias podem ser criadas em um tanque de peixes carregado por uma pessoa se a frequência com que a pessoa anda for igual à frequência do balanço da água.

Exercício resolvido

Uma corda de violão tem L = 0,9 me uma densidade de massa linear μ = 0,005 kg / m. Está sujeito a 72 N de tensão e seu modo de vibração é o mostrado na figura, com amplitude 2A = 0,5 cm.

Encontrar:

a) Velocidade de propagação

b) Frequência de onda

c) A equação da onda estacionária correspondente.

Solução para

Através:

Se obtem;

v = [72 N / (0,005 kg / m)]^1/2 = 120 m / s.

Solução b

A distância entre dois nós adjacentes é λ / 2, portanto:

(2/3) L - (1/3) L = λ / 2

(1/3) L = λ / 2

λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 m / 3 = 0,60 m.

Uma vez que v = λ.f

f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s^-1= 200 Hz.

Solução c

A equação é:

Y_R = [2A sen kx]. cos ωt

Precisamos substituir os valores:

k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 m = 10 π / 3

f = ω / 2π

ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.

A amplitude 2A já é dada pela afirmação:

2A = 0,5 cm = 5 x 10 ^-3 m.

Portanto:

Y_R = 5 x 10 ^-3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt) =

= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)

Referências

Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 7. Ondas e Física Quântica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning.
Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5ª Ed. Volume 1. Editorial Reverté.
Wikipedia. Seiche. Recuperado de: es.wikipedia.org.