Simetria central: propriedades, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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Dois pontos A e A 'têm simetria central com respeito a um ponto O quando o segmento AA 'passa por ele e é também o ponto médio de AA'. Ponto O é chamado centro de simetria.

A simétrica central de um triângulo ABC em relação a um ponto O, é outro triângulo A'B'C 'que possui as seguintes características:

- Os segmentos homólogos são de igual comprimento

-Os ângulos correspondentes têm a mesma medida.

A Figura 1 mostra um triângulo ABC (vermelho) e sua simetria central A'B'C '(verde), em relação ao centro de simetria O.

Nessa mesma figura, um observador atento perceberia que o mesmo resultado é obtido aplicando-se uma rotação do triângulo original, desde que esteja 180º e centralizado em O.

Portanto, uma simetria central é equivalente a uma volta de 180º em relação ao centro de simetria.


Propriedades de simetria central

Uma simetria central tem as seguintes propriedades:

-O centro de simetria é o ponto médio do segmento que une um ponto com sua simetria.

-Um ponto simétrico de outro que está localizado no centro de simetria, coincide com o centro de simetria.

-A simétrica central de um triângulo é um triângulo congruente (igual) ao original.

-A imagem por simetria central de um círculo é outro círculo de raio igual.

-A circunferência tem simetria central em relação ao seu próprio centro.

-A elipse tem simetria central em relação ao seu centro.

-Um segmento tem simetria central em relação ao seu ponto médio.

-O triângulo equilátero não tem simetria central em relação ao seu centro, porque a sua simetria, embora congruente com a primeira, dá um triângulo equilátero rodado.


-Os quadrados têm simetria central em relação ao seu centro.

-Um pentágono carece de simetria central em relação ao seu centro.

-Os polígonos regulares têm simetria central quando têm um número par de lados.

Exemplos

Os critérios de simetria têm muitas aplicações em ciência e engenharia. A simetria central está presente na natureza, por exemplo, cristais de gelo e teias de aranha têm esse tipo de simetria.

Além disso, muitos problemas são facilmente resolvidos ao tirar proveito da existência de simetria central e outros tipos de simetria. Portanto, é conveniente identificar rapidamente quando isso ocorre.

Exemplo 1

Dado um ponto P de coordenadas (a, b), devemos encontrar as coordenadas de seu P 'simétrico em relação à origem O de coordenadas (0, 0).


A primeira coisa é construir o ponto P ', para o qual se traça uma linha que passa pela origem O e pelo ponto P. A equação dessa linha é y = (b / a) x.

Agora vamos chamar (a ', b') as coordenadas do ponto simétrico P '. O ponto P 'deve estar na reta que passa por O e, portanto, o seguinte é verdadeiro: b' = (b / a) a '. Além disso, a distância OP deve ser igual a OP ', que é analiticamente escrita assim:

√ (para2 + b2) = √ (a ’2 + b '2 )

O seguinte é substituir b ’= [(b / a) .a’] na expressão anterior e elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade para eliminar a raiz quadrada: (a2 + b2) = [a '2 + (b2/para2).para'2]

Ao extrair o fator comum e simplificar, chegamos a que um '2 = a2. Esta equação tem duas soluções reais: a ’= + a ou a’ = -a.

Para obter b ', usamos novamente b' = (b / a) a '. Se a solução positiva de a 'for substituída, chegamos a que b' = b. E quando a solução negativa é substituída, então b '= -b.

A solução positiva dá para P 'o mesmo ponto P, então ele é descartado. A solução negativa definitivamente fornece as coordenadas do ponto simétrico:

P ’: (-a, -b)

Exemplo 2

É necessário mostrar que um segmento AB e seu A'B 'simétrico central têm o mesmo comprimento.

Começando com as coordenadas do ponto A, que são (Ax, Ay) e as do ponto B: (Bx, By), o comprimento do segmento AB é dado por:

d (AB) = √ ((Bx - Ax)2 + (Por - Ay)2 )

Por analogia, o segmento simétrico A’B ’terá um comprimento dado por:

d (A’B ’) = √ ((Bx’ - Ax ’)2 + (Por ’- Ay’)2 )

As coordenadas do ponto simétrico A ’são Ax’ = -Ax e Ay ’= -Ay. Da mesma forma, aqueles de B 'são Bx' = -Bx e Por '= -By. Se essas coordenadas forem substituídas na equação pela distância d (A'B '), temos:

d (A’B ’) = √ ((-Bx + Ax)2 + (-Por + Ay)2) que é equivalente a:

√ ((Bx - Ax)2 + (Por - Ay)2) = d (AB)

Mostra-se assim que ambos os segmentos têm o mesmo comprimento.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Mostre analiticamente que o O simétrico central de um círculo de raio R e centro O é o mesmo círculo original.

Solução

A equação de um círculo com raio R e centro O (0,0) é:

x2 + e2 = R2 (Equação da circunferência C)

Se em cada ponto P do círculo e das coordenadas (x, y) seu P 'simétrico de coordenadas (x', y ') for encontrado, a equação do círculo simétrico é:

x '2 + e '2 = R2 (Equação da circunferência simétrica C ')

Agora nos referimos ao resultado do exemplo 1, no qual se conclui que as coordenadas de um ponto P ', simétrico a P e com coordenadas (a, b), são (-a, -b).

Mas, neste exercício, o ponto P tem coordenadas (x, y), então seu P 'simétrico terá coordenadas x' = -x e y '= -y. Substituindo isso na equação do círculo simétrico, temos:

(-x)2 + (-y)2 = R2

O que é equivalente a: x2+ e2 = R2, concluindo que a simétrica central de um círculo em relação ao seu centro é a própria circunferência.

- Exercício 2

Mostre geometricamente que a simetria central preserva os ângulos.

Solução

Existem três pontos A, B e C no avião. Suas simétricas A ', B' e C 'são construídas em relação ao centro de simetria O, conforme mostrado na figura 4.

Agora temos que mostrar que o ângulo ∡ABC = β tem a mesma medida que o ângulo ∡A’B’C ’= β’.

Como C e C 'são simétricos, OC = OC'. Da mesma forma, OB = OB 'e OA = OA'. Por outro lado, o ângulo ∡BOC = ∡B’OC 'porque eles são opostos pelo vértice.

Então, os triângulos BOC e B'OC 'são congruentes porque eles têm um ângulo igual entre dois lados iguais.

Uma vez que BOC é congruente com B'OC ', então os ângulos γ Y γ’ são iguais. Mas esses ângulos, além de atender γ = γ’ eles são alternos internos entre as linhas BC e B'C ', o que implica que a linha BC é paralela a B'C'.

Da mesma forma, BOA é congruente com B’OA ', do qual segue que α = α’ . Mas α Y α’ eles são ângulos internos alternados entre as linhas BA e B’A ', dos quais se conclui que a linha BA é paralela a B’A'.

Como o ângulo ∡ABC = β tem seus lados paralelos ao ângulo ∡A’B’C ’= β’ e ambos são agudos, conclui-se que:

∡ABC = ∡A’B’C ’= β = β’

Provando desta forma, que a simetria central conserva a medida dos ângulos.

Referências

  1. Baldor, J. A. 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
  2. Leis e fórmulas matemáticas. Sistemas de medição de ângulo. Recuperado de: ingemecanica.com.
  3. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
  4. Wikipedia. Simetria central. Recuperado de: es.wikipedia.com
  5. Wikipedia. Esteira. Recuperado de: es.wikipedia.com
  6. Zapata F. Ângulos internos e externos do conjugado. Recuperado de: lifeder.com