Coeficiente de Poisson: coeficiente, fórmulas, valores, exemplos - Ciência - 2023

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o Coeficiente de Poisson é uma quantidade adimensional, característica de cada material. É uma indicação da deformação de uma peça de material antes da aplicação de certas forças.

Quando uma peça de material que é submetida a uma tensão ou compressão sofre uma deformação, o quociente entre a deformação transversal e a deformação longitudinal é precisamente o coeficiente de Poisson.

Por exemplo, um cilindro de borracha que é colocado sob tensão em suas extremidades se estende na direção longitudinal, mas se estreita transversalmente. A Figura 1 mostra uma barra cujas dimensões originais são: comprimento L e diâmetro D.

A barra é submetida a uma tensão T em suas extremidades e, como consequência dessa tensão, ela sofre um alongamento, de modo que o novo comprimento é L '> L. Mas quando ela é esticada, seu diâmetro também diminui para o novo valor: D '<D.


O quociente entre o alongamento (positivo) e o estreitamento (negativo) multiplicado por (-1) é um número positivo entre 0 e 0,5. Este número é denominado coeficiente de Poisson ν (letra grega nu).

Fórmula do coeficiente de Poisson

Para calcular o coeficiente de Poisson, é necessário determinar a deformação longitudinal e transversal.

A deformação longitudinal εeu é o trecho dividido pelo comprimento original:

εeu = (L ’- L) / L

Da mesma forma, a deformação transversal εT é o cone radial dividido pelo diâmetro original:

εT = (D '- D) / D

Portanto, o coeficiente de Poisson é calculado usando a seguinte fórmula:

ν = – εT / εeu 

Relação com módulo de elasticidade e módulo de rigidez

O coeficiente de Poisson ν, está relacionado ao módulo E elasticidade (ou módulo de Young) e com o módulo de rigidez G, usando a seguinte fórmula:


ν = E / (2G) - 1

Valor do coeficiente de Poisson para materiais

Exemplos de cálculo

Exemplo 1

Uma barra de um determinado material plástico tem um comprimento de 150 mm e uma seção circular de 20 mm de diâmetro. Quando submetida a uma força de compressão F de 612,25 kg-f, observa-se um encurtamento de 14 mm e, simultaneamente, um aumento de 0,85 mm no diâmetro da barra.

Calcular:

a) Deformação longitudinal.

b) A deformação transversal.

c) O coeficiente de Poisson desse material.

d) Módulo de elasticidade de Young correspondente ao material.


e) O módulo de rigidez desse plástico.

Solução para

Lembre-se de que a deformação longitudinal εL é a extensão dividida pelo comprimento original:

εL = (L ’- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Note que a deformação longitudinal é adimensional, e neste caso foi negativa porque houve uma diminuição em sua dimensão longitudinal.

Solução b

Da mesma forma, a deformação transversal εT é a conicidade radial, dividida pelo diâmetro original:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

A deformação transversal foi positiva porque houve aumento do diâmetro da barra.

Solução c

Para o cálculo do coeficiente de Poisson devemos lembrar que ele é definido como o negativo do quociente entre a deformação transversal e a deformação longitudinal:

ν = - εT / εL

ν = – 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Deve ser lembrado que o coeficiente de Poisson é um número adimensional positivo e para a maioria dos materiais está entre 0 e 0,5.

Solução d

O módulo de elasticidade de Young, denotado pela letra E, é a constante de proporcionalidade na lei de Hooke. Por E, a tensão normal σL está relacionada à deformação εL, da seguinte forma:

σL = E εL

A tensão normal é definida como o quociente entre a força normal (neste caso, paralela ao eixo da barra) e a área da seção transversal:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Neste exercício, a força F é 612,25 kg-f, que deve ser convertida em newtons, que é a unidade SI de força:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Por sua vez, a seção transversal da área A é:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Finalmente, a tensão normal aplicada à barra é:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Para calcular o módulo de elasticidade de Young, resolvemos para E a partir da lei de Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Solução e

O módulo de rigidez G está relacionado ao módulo E de Young e ao coeficiente de Poisson ν por esta fórmula:

E / (2 G) = 1 + ν

A partir daí, podemos resolver para G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Exemplo 2

Possui um cabo de cobre de 4 mm de diâmetro e 1 m de comprimento. Sabendo que o módulo de cobre de Young é 110.000 MPa e que seu coeficiente de Poisson é 0,34, estime o alongamento e o estreitamento em diâmetro que o fio sofre quando um peso de 100 kg-f é pendurado nele.

Solução

Primeiramente, é necessário calcular a tensão de tração normal que o peso exerce sobre o fio, seguindo esta fórmula:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

A força F é 980 N e a área da seção transversal é:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Então, a tensão de tração é:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa

Cálculo da tensão do fio

O módulo de elasticidade de Young, denotado pela letra E, é a constante de proporcionalidade na lei de Hooke que relaciona a tensão normal σL à deformação εL:

σL = E εL

A partir daí, a deformação longitudinal do fio de cobre pode ser resolvida:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Cálculo da deformação transversal

Por outro lado, para conhecer a deformação transversal, o coeficiente de Poisson é aplicado:

ν = - εT / εL

Finalmente, a deformação transversal é:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Cálculo da extensão absoluta do cabo

Por fim, para saber o trecho absoluto do cabo, deve-se aplicar a seguinte relação:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Ou seja, com esse peso o cabo mal se esticou 0,709 milímetros.

Cálculo da diminuição do diâmetro

Para obter a contração absoluta em diâmetro, usamos a seguinte fórmula:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 milímetros.

Este estreitamento de diâmetro é tão pequeno que é difícil ver a olho nu, mesmo sua medição requer um instrumento de alta precisão.

Referências

  1. Cerveja F .. Mecânica dos materiais. 5 ª. Edição. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
  2. Hibbeler R. Mecânica dos materiais. Oitava edição. Prentice Hall. 2011. 3-60.
  3. Gere J. Mecânica dos materiais. Oitava edição. Cengage Learning. 4-220.
  4. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6ª Ed. Prentice Hall. 238-242.
  5. Valera Negrete, J. 2005. Notes on General Physics. UNAM. 87-98.