Permutações circulares: prova, exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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Aspermutações circularessão diferentes tipos de agrupamentos de todos os elementos de um conjunto, quando estes devem ser dispostos em círculos. Nesse tipo de permutação, a ordem é importante e os elementos não se repetem.

Por exemplo, suponha que você queira saber o número de matrizes distintas de dígitos de um a quatro, colocando cada número em um dos vértices de um losango. Seriam 6 arranjos no total:

Não se deve confundir que o número um está na posição superior do losango em todos os casos como uma posição fixa. As permutações circulares não são alteradas pela rotação da matriz. Os itens a seguir são uma única ou a mesma permutação:

Demonstração e fórmulas

No exemplo das diferentes matrizes circulares de 4 dígitos localizadas nos vértices de um losango, o número de matrizes (6) pode ser encontrado assim:

1- Qualquer um dos quatro dígitos é tomado como ponto de partida em qualquer um dos vértices e avança para o próximo vértice. (não importa se for girado no sentido horário ou anti-horário)

2- Restam 3 opções para selecionar o segundo vértice, então existem 2 opções para selecionar o terceiro vértice e, claro, há apenas uma opção de seleção para o quarto vértice.

3- Assim, o número de permutações circulares, denotado por (4 - 1) P (4 - 1), é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 matrizes circulares de 4 dígitos diferentes.

Em geral, o número de permutações circulares que podem ser alcançadas com todos os n elementos de um conjunto é:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2) ... (2) (1)

Observe que (n - 1)! É conhecido como fatorial n e abrevia o produto de todos os números do número (n - 1) ao número um, inclusive.

Exemplos

Exemplo 1

De quantas maneiras diferentes 6 pessoas têm de se sentar em uma mesa circular?

Você deseja descobrir o número de maneiras diferentes pelas quais 6 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa redonda.

N ° de maneiras de sentar = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Nº de maneiras de se sentar = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 maneiras diferentes

Exemplo 2

De quantas maneiras diferentes 5 pessoas têm para se localizar nos vértices de um pentágono?

O número de maneiras pelas quais 5 pessoas podem ser localizadas em cada um dos vértices de um pentágono é pesquisado.

Nº de maneiras de ser localizado = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° de formas de localização = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras diferentes

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Um joalheiro adquire 12 diferentes pedras preciosas para colocá-las nos pontos das horas de um relógio que está preparando para a casa real de um país europeu.

a) De quantas maneiras diferentes ele tem para organizar as pedras no relógio?

b) Quantas formas diferentes tem se a pedra que vai até às 12 horas for única?

c) Quantas formas diferentes se a pedra das 12 horas for única e as pedras dos outros três pontos cardeais, 3, 6 e 9 horas; Existem três pedras em particular, que podem ser trocadas, e o resto das horas são atribuídas a partir do resto das pedras?

Soluções

a) Solicita-se o número de maneiras de dispor todas as pedras na circunferência do relógio; isto é, o número de arranjos circulares envolvendo todas as pedras disponíveis.

Número de arranjos no relógio = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Nº de correções no relógio = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Número de arranjos no relógio = 39976800 formas diferentes

b) Ele se pergunta quantas maneiras diferentes de ordenar existem sabendo que a pedra do cabo das 12 horas é única e fixa; isto é, o número de arranjos circulares envolvendo as 11 pedras restantes.

Número de arranjos no relógio = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Nº de correções no relógio = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Número de arranjos no relógio = 3628800 formas diferentes

c) Por fim, procura-se o número de maneiras de ordenar todas as pedras, exceto a pedra das 12 horas que é fixa, as pedras 3, 6 e 9 que têm 3 pedras a serem atribuídas entre si; ou seja, 3! possibilidades de arranjo, e o número de arranjos circulares envolvendo as 8 pedras restantes.

Número de arranjos no relógio = 3! * [(8–1) P (8-1)] = 3! * (8–1)!

Número de correções no relógio = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Número de arranjos no relógio = 241920 formas diferentes

- Exercício 2

O comitê de direção de uma empresa é composto por 8 membros e eles se reúnem em uma mesa oval.

a) Quantas formas diferentes de arranjo ao redor da mesa o comitê possui?

b) Suponha que o presidente se sente à cabeceira da mesa em qualquer arranjo de comissão, quantas formas diferentes de arranjo o resto da comissão tem?

c) Suponha que o vice-presidente e o secretário se sentem um ao lado do presidente em qualquer arranjo de comissão.Quantas formas diferentes de arranjo o resto do comitê tem?

Soluções

a) Queremos encontrar o número de maneiras diferentes de organizar os 12 membros do comitê ao redor da mesa oval.

Nº de arranjos de comitê = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Nº de arranjos de comitê = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° de arranjos de comitê = 39976800 formulários diferentes

b) Visto que o presidente do comitê está localizado em uma posição fixa, o número de maneiras de ordenar os 11 membros restantes ao redor da mesa oval é procurado.

Nº de arranjos de comitê = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Nº de arranjos de comitê = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nº de arranjos de comitê = 3.628.800 formulários diferentes

c) O presidente ocupa cargo fixo e ao lado estão o vice-presidente e o secretário com duas possibilidades de disposição: vice-presidente à direita e secretário à esquerda ou vice-presidente à esquerda e secretário à direita. Em seguida, você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de organizar os 9 membros restantes do comitê ao redor da mesa oval e multiplicar pelas 2 formas de arranjos que o vice-presidente e o secretário têm.

Número de arranjos de comitê = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]

N ° de acordos de comitê = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Nº de arranjos de comitês = 80640 formulários diferentes

Referências

Boada, A. (2017). Uso de permutação com repetição como ensino de experimentos. Revista Vivat Academia. Recuperado de researchgate.net.
Canavos, G. (1988). Probabilidade e Estatística. Aplicações e métodos. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A. de C. V.
Glass, G.; Stanley, J. (1996). Métodos estatísticos não aplicados às ciências sociais. Prentice Hall Hispanoamericana S. A.
Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Estatisticas. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A.
Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Sim, Ka. (2007). Probabilidade e estatística para engenheiros e cientistas. Oitava ed. Pearson Education International Prentice Hall.
Webster, A. (2000). Estatísticas aplicadas aos negócios e economia. Terceira ed. McGraw-Hill / Interamericana S. A.
Wikipedia. (2019). Permutação. Recuperado de en.wikipedia.org.