Trapézio direito: propriedades, relações e fórmulas, exemplos - Ciência - 2023

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Trapézio direito: propriedades, relações e fórmulas, exemplos - Ciência
Trapézio direito: propriedades, relações e fórmulas, exemplos - Ciência

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UMA trapézio retângulo é uma figura plana com quatro lados, de modo que dois deles são paralelos um ao outro, chamada bases e também um dos outros lados é perpendicular às bases.

Por isso, dois dos ângulos internos estão corretos, ou seja, medem 90º. Daí o nome "retângulo" que é dado à figura. A imagem a seguir de um trapézio direito esclarece essas características:

Elementos trapézios

Os elementos do trapézio são:

-Bases

-Vértices

-Altura

- Ângulos internos

-Base média

-Diagonais

Detalharemos esses elementos com o auxílio das figuras 1 e 2:

Os lados do trapézio direito são denotados por letras minúsculas a, b, c e d. Os cantos da figura o vértices Eles são indicados em letras maiúsculas. Finalmente, o ângulos internos Eles são expressos em letras gregas.


Por definição, bases desse trapézio estão os lados aeb, que, como pode ser visto, são paralelos e também têm comprimentos diferentes.

O lado perpendicular a ambas as bases é o lado c à esquerda, que é o alturah do trapézio. E, finalmente, há o lado d, que forma o ângulo agudo α com o lado a.

A soma do ângulos internos de um quadrilátero é 360º. É fácil ver que o ângulo ausente C na figura é 180 - α.

o base do meio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos (segmento EF na figura 2).

E finalmente existem as diagonais d1 e d2, os segmentos que unem os vértices opostos e que se cruzam no ponto O (ver figura 2).

Relações e fórmulas

Altura do trapézio h

h = c


Perímetro P

É a medida do contorno e é calculada somando os lados:

Perímetro = a + b + c + d

O lado d expresso em termos de altura ou lado c usando o teorema de Pitágoras:

d = √ (a-b)2 + c2

Substituindo no perímetro:

P = a + b + c + √ (a-b)2 + c2

Base média

É a semi-soma das bases:

Base média = (a + b) / 2

Às vezes, a base média é encontrada expressa assim:

Base média = (base principal + base secundária) / 2

Área

A área A do trapézio é o produto da base média vezes a altura:

A =(Base principal + base secundária) x altura / 2

A = (a + b) c / 2

Diagonais, lados e ângulos

Na Figura 2, vários triângulos aparecem, tanto direitos como não direitos. O teorema de Pitágoras pode ser aplicado para aqueles que são triângulos retângulos e para aqueles que não são, os teoremas do cosseno e do seno.


Desta forma, as relações são encontradas entre os lados e entre os lados e os ângulos internos do trapézio.

Triângulo CPA

É um retângulo, suas pernas são iguais e valem b, enquanto a hipotenusa é a diagonal d1, portanto:

d12 = b2 + b2 = 2b2

Triângulo DAB

Também é um retângulo, as pernas são para Y c (ou também para Y h) e a hipotenusa é d2, de maneira que:

d22 = a2 + c2 = a2 + h2

Triângulo CDA

Uma vez que este triângulo não é um triângulo retângulo, o teorema do cosseno é aplicado a ele, ou também o teorema do seno.

De acordo com o teorema do cosseno:

d12 = a2 + d2 - 2ad cos α

Triângulo CDP

Este triângulo é um triângulo retângulo e com seus lados as razões trigonométricas do ângulo α são construídas:

sin α = h / d

cos α = PD / d

Mas o lado PD = a - b, portanto:

cos α = (a-b) / d → a - b = d cos α

a = b + d cos α

Você também tem:

tg α = sin α / cos α = h / (a-b) → h = tg α (a-b)

Triângulo CBD

Neste triângulo temos o ângulo cujo vértice está em C. Não está marcado na figura, mas no início foi destacado que vale 180 - α. Este triângulo não é um triângulo retângulo, então o teorema do cosseno ou teorema do seno pode ser aplicado.

Agora, pode ser facilmente mostrado que:

sin (180 - α) = sin α

cos (180 - α) = - cos α

Aplicando o teorema do cosseno:

d22 = d2 + b2 - 2 db cos (180 - α) = d2 + b2 + 2db cos α

Exemplos de trapézio direito

Os trapézios e, em particular, os trapézios direitos são encontrados em muitos lados, e às vezes nem sempre de forma tangível. Aqui temos vários exemplos:

O trapézio como elemento de design

Figuras geométricas abundam na arquitetura de muitos edifícios, como esta igreja em Nova York, que mostra uma estrutura em forma de trapézio retângulo.

Da mesma forma, a forma trapezoidal é frequente na concepção de recipientes, recipientes, lâminas (cortador ou exata), crachás e em design gráfico.

Gerador de onda trapezoidal

Os sinais elétricos não podem ser apenas quadrados, sinusoidais ou triangulares. Existem também sinais trapezoidais que são úteis em muitos circuitos. Na figura 4 há um sinal trapezoidal composto por dois trapézios direitos. Entre eles, eles formam um único trapézio isósceles.

Em cálculo numérico

Para calcular em forma numérica a integral definida da função f (x) entre a e b, a regra do trapézio é usada para aproximar a área sob o gráfico de f (x). Na figura a seguir, à esquerda, a integral é aproximada com um único trapézio direito.

Uma melhor aproximação é a da figura da direita, com vários trapézios à direita.

Feixe de carga trapezoidal

As forças nem sempre se concentram em um único ponto, pois os corpos sobre os quais atuam têm dimensões apreciáveis. É o caso de uma ponte sobre a qual circulam continuamente os veículos, a água de uma piscina nas paredes verticais da mesma ou um telhado onde se acumula água ou neve.

Por este motivo, as forças são distribuídas por unidade de comprimento, área de superfície ou volume, dependendo do corpo sobre o qual atuam.

No caso de uma viga, uma força distribuída por unidade de comprimento pode ter várias distribuições, por exemplo, o trapézio direito mostrado abaixo:

Na realidade, as distribuições nem sempre correspondem a formas geométricas regulares como esta, mas podem ser uma boa aproximação em muitos casos.

Como ferramenta educacional e de aprendizagem

Quadros e blocos em forma geométrica, incluindo trapézios, são muito úteis para familiarizar as crianças com o fascinante mundo da geometria desde a mais tenra idade.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

No trapézio direito da figura 1, a base maior tem 50 cm e a base menor é igual a 30 cm, também se sabe que o lado oblíquo tem 35 cm. Encontrar:

a) Ângulo α

b) Altura

c) Perímetro

d) Base média

e) Área

f) Diagonais

Solução para

Os dados da declaração são resumidos da seguinte forma:

a = base principal = 50 cm

b = base menor = 30 cm

d = lado inclinado = 35 cm

Para encontrar o ângulo α, visitamos a seção de fórmulas e equações, para ver qual é o que melhor se adequa aos dados oferecidos. O ângulo procurado é encontrado em vários dos triângulos analisados, por exemplo o CDP.

Aí temos esta fórmula, que contém o desconhecido e também os dados que conhecemos:

cos α = (a-b) / d

Portanto:

α = arcos [(a-b) / d] = arcos [(50-30) / 35] = arcos 20/35 = 55,15 º

Solução b

Da equação:

sin α = h / d

Limpa h:

h = d. sen α = 35 sen 55,15 º cm = 28,72 cm

Solução c

O perímetro é a soma dos lados e, como a altura é igual ao lado c, temos:

c = h = 28,72 cm

Portanto:

P = (50 + 30 + 35 + 28,72) cm = 143,72 cm

Solução d

A base média é a semi-soma das bases:

Base média = (50 + 30 cm) / 2 = 40 cm

Solução e

A área do trapézio é:

A = base média x altura = 40 cm x 28,72 = 1148,8 cm2.

Solução f

Para a diagonal d1 você pode usar esta fórmula:

 d12 = b2 + b2 = 2b2

d12= 2 x (30 cm)2 = 1800 cm2

d1 = √1800 cm2 = 42,42 cm

E para a diagonal d2:

d22 = d2 + b2 + 2db cos α = (35 cm)2 + (30 cm)2 + 2 x 35 x 30 cm2 cos 55,15 º = 3325 cm2

d2 = √ 3325 cm2 = 57,66 cm

Esta não é a única maneira de encontrar d2, uma vez que existe também o triângulo DAB.

- Exercício 2

O gráfico a seguir de velocidade versus tempo pertence a um móvel que tem movimento retilíneo uniformemente acelerado. Calcule a distância percorrida pelo celular no intervalo de tempo entre 0,5 e 1,2 segundos.

Solução

A distância percorrida pelo celular é numericamente equivalente à área sob o gráfico, delimitada pelo intervalo de tempo indicado.

A área sombreada é a área de um trapézio direito, dada por:

A =(Base principal + base secundária) x altura / 2

A = (1,2 + 0,7) m / s x (1,2 - 0,5) s / 2 = 0,665 m

Referências

  1. Baldor, A. 2004. Geometria plana e espacial com trigonometria. Publicações culturais.
  2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
  3. Geometria Jr. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
  4. OnlineMSchool. Trapézio retangular. Recuperado de: es.onlinemschool.com.
  5. Solucionador automático de problemas de geometria. O trapézio. Recuperado de: scuolaelettrica.it
  6. Wikipedia. Trapézio (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.