Teorema de Lamy (com exercícios resolvidos) - Ciência - 2023

Contente

• Teorema de Lamy
• Exercício resolvido
• Solução
• Referências

o Teorema de Lamy estabelece que quando um corpo rígido está em equilíbrio e sob a ação de três forças coplanares (forças que estão no mesmo plano), suas linhas de ação coincidem no mesmo ponto.

O teorema foi deduzido pelo físico e religioso francês Bernard Lamy e teve origem na lei dos senos. É muito utilizado para encontrar o valor de um ângulo, da linha de ação de uma força ou para formar o triângulo de forças.

Teorema de Lamy

O teorema afirma que, para que a condição de equilíbrio seja satisfeita, as forças devem ser coplanares; ou seja, a soma das forças exercidas em um ponto é zero.

Além disso, como pode ser visto na imagem a seguir, é verdade que ao estender as linhas de ação dessas três forças, elas convergem no mesmo ponto.

Desta forma, se três forças que estão no mesmo plano e são concorrentes, a magnitude de cada força será proporcional ao seno do ângulo oposto, que é formado pelas outras duas forças.

Assim, temos que T1, partindo do seno de α, é igual à razão de T2 / β, que por sua vez é igual à razão de T3 / Ɵ, ou seja:

Daí se segue que os módulos dessas três forças devem ser iguais se os ângulos que cada par de forças forma entre elas forem iguais a 120º.

Existe a possibilidade de que um dos ângulos seja obtuso (medida entre 90⁰ e 180⁰) Nesse caso o seno desse ângulo será igual ao seno do ângulo suplementar (em seu par mede 180⁰).

Exercício resolvido

Existe um sistema formado por dois blocos J ​​e K, que ficam pendurados em várias cordas em ângulos com a horizontal, conforme mostrado na figura. O sistema está em equilíbrio e o bloco J pesa 240 N. Determine o peso do bloco K.

Solução

Pelo princípio de ação e reação, as tensões exercidas nos blocos 1 e 2 serão iguais ao seu peso.

Agora, um diagrama de corpo livre é construído para cada bloco e, assim, determina os ângulos que formam o sistema.

Sabe-se que o acorde que vai de A a B tem um ângulo de 30⁰ , de modo que o ângulo que o complementa é igual a 60⁰ . Assim você chega a 90⁰.

Por outro lado, onde o ponto A está localizado, existe um ângulo de 60⁰ em relação à horizontal; o ângulo entre a vertical e o T_PARA vai ser = 180⁰ – 60⁰ – 90⁰ = 30⁰.

Assim, obtemos que o ângulo entre AB e BC = (30⁰ + 90⁰ + 30⁰) e (60⁰ + 90⁰ + 60) = 150⁰ e 210⁰. Quando adicionado, o ângulo total é 360⁰.

Aplicando o teorema de Lamy, temos:

T_AC/ sen 150⁰ = P_PARA/ sen 150⁰

T_AC = P_PARA

T_AC = 240N.

No ponto C, onde está o bloco, o ângulo entre a horizontal e a corda BC é de 30⁰, então o ângulo complementar é igual a 60⁰.

Por outro lado, você tem um ângulo de 60⁰ no ponto CD; o ângulo entre a vertical e o T_C vai ser = 180⁰ – 90⁰ – 60⁰ = 30⁰.

Assim, obtemos que o ângulo no bloco K é = (30⁰ + 60⁰)

Aplicando o teorema de Lamy no ponto C:

T_AC/ sen 150⁰ = B / sen 90⁰

Q = T_{BC *} sen 90⁰ / sen 150⁰

Q = 240 N * 1 / 0,5

Q = 480 N.

Referências

1. Andersen, K. (2008). A geometria de uma arte: a história da teoria matemática da perspectiva de Alberti a Monge. Springer Science & Business Media.
2. Ferdinand P. Beer, E. R. (2013). Mecânica para engenheiros, Estática. McGraw-Hill Interamericana.
3. Francisco Español, J. C. (2015). Resolvidos problemas de álgebra linear. Edições Paraninfo, S.A.
4. Graham, J. (2005). Força e movimento. Houghton Mifflin Harcourt.
5. Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria Geométrica dos Grupos. University of Chicago Press.
6. P. A Tipler e G. M. (2005). Física para Ciência e Tecnologia. Volume I. Barcelona: Reverté S.A.