Frações parciais: casos e exemplos - Ciência - 2023

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As Frações Parciais São frações formadas por polinômios, em que o denominador pode ser um polinômio linear ou quadrático e, além disso, pode ser elevado a alguma potência. Às vezes, quando temos funções racionais, é muito útil reescrever essa função como uma soma de frações parciais ou frações simples.

Isto porque desta forma podemos manipular melhor estas funções, especialmente nos casos em que é necessário integrar a referida aplicação. Uma função racional é simplesmente o quociente entre dois polinômios, e eles podem ser próprios ou impróprios.

Se o grau do polinômio do numerador for menor que o denominador, é chamada de função racional própria; caso contrário, é conhecido como uma função racional imprópria.

Definição

Quando temos uma função racional imprópria, podemos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e assim reescrever a fração p (x) / q (x), seguindo o algoritmo de divisão como t (x) + s (x) / q (x), onde t (x) é um polinômio e s (x) / q (x) é uma função racional apropriada.

Uma fração parcial é qualquer função própria de polinômios, cujo denominador tem a forma (ax + b)ⁿ o (machado²+ bx + c)ⁿ, se o machado polinomial² + bx + c não tem raízes reais e n é um número natural.

Para reescrever uma função racional em frações parciais, a primeira coisa a fazer é fatorar o denominador q (x) como um produto de fatores lineares e / ou quadráticos. Feito isso, são determinadas as frações parciais, que dependem da natureza desses fatores.

Casos

Consideramos vários casos separadamente.

Caso 1

Os fatores de q (x) são todos lineares e nenhum se repete. Quer dizer:

q (x) = (a₁x + b₁) (para₂x + b₂) …(para_sx + b_s)

Nenhum fator linear é idêntico a outro. Quando este caso ocorrer, escreveremos:

p (x) / q (x) = A₁/(para₁x + b₁) + A₂/(para₂x + b₂)… + A_s/(para_sx + b_s).

Para onde₁,PARA₂,…,PARA_s são as constantes que você deseja encontrar.

Exemplo

Queremos decompor a função racional em frações simples:

(x - 1) / (x³+ 3x²+ 2x)

Passamos a fatorar o denominador, ou seja:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Então:

(x - 1) / (x³+ 3x²+ 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Aplicando o mínimo múltiplo comum, pode-se obter que:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Queremos obter os valores das constantes A, B e C, que podem ser encontrados substituindo as raízes que cancelam cada um dos termos. Substituindo 0 por x, temos:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Substituindo - 1 por x, temos:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Substituindo - 2 por x, temos:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Desta forma, são obtidos os valores A = –1/2, B = 2 e C = –3/2.

Existe outro método para obter os valores de A, B e C. Se no lado direito da equação x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combinamos termos, temos:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Como se trata de uma igualdade de polinômios, temos que os coeficientes do lado esquerdo devem ser iguais aos do lado direito. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Resolvendo este sistema de equações, obtemos os resultados A = –1/2, B = 2 e C = -3/2.

Por fim, substituindo os valores obtidos temos que:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Caso 2

Os fatores de q (x) são todos lineares e alguns se repetem. Suponha que (ax + b) seja um fator que se repete vezes “s”; então, a este fator corresponde a soma das frações parciais “s”.

PARA_s/ (ax + b)^s + A_s-1/ (ax + b)^s-1 +… + A₁/ (ax + b).

Onde o A_s,PARA_s-1,… , PARA₁ são as constantes a serem determinadas. Com o exemplo a seguir, mostraremos como determinar essas constantes.

Exemplo

Decompor em frações parciais:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Escrevemos a função racional como uma soma de frações parciais da seguinte forma:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

Então:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

Substituindo 2 por x, temos que:

7 = 4C, ou seja, C = 7/4.

Substituindo 0 por x, temos:

- 1 = –8A ou A = 1/8.

Substituindo esses valores na equação anterior e desenvolvendo, temos que:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² + Dx³ - 2Dx² + Ex²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² + (3/2 - 8B) x - 1.

Equacionando os coeficientes, obtemos o seguinte sistema de equações:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Resolvendo o sistema, temos:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Para isso, temos que:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Caso 3

Os fatores de q (x) são quadráticos lineares, sem quaisquer fatores quadráticos repetidos. Para este caso, o fator quadrático (ax² + bx + c) corresponderá à fração parcial (Ax + B) / (ax² + bx + c), onde as constantes A e B são aquelas a serem determinadas.

O exemplo a seguir mostra como proceder neste caso

Exemplo

Decompor em frações simples a (x + 1) / (x³ – 1).

Primeiro, passamos a fatorar o denominador, o que nos dá o resultado:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Podemos observar que (x² + x + 1) é um polinômio quadrático irredutível; ou seja, não tem raízes reais. Sua decomposição em frações parciais será a seguinte:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

A partir disso, obtemos a seguinte equação:

x + 1 = (A + B) x² + (A - B + C) x + (A - C)

Usando a igualdade de polinômios, obtemos o seguinte sistema:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Deste sistema, temos que A = 2/3, B = - 2/3 e C = 1/3. Substituindo, temos que:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

Caso 4

Finalmente, o caso 4 é aquele em que os fatores de q (x) são lineares e quadráticos, onde alguns dos fatores lineares quadráticos se repetem.

Neste caso, if (ax² + bx + c) é um fator quadrático que se repete “s” vezes, então a fração parcial correspondente ao fator (ax² + bx + c) será:

(PARA₁x + B) / (machado² + bx + c) +… + (A_s-1x + B_s-1) / (machado² + bx + c)^s-1 + (A_sx + B_s) / (machado² + bx + c)^s

Onde o A_s, PARA_s-1, ..., A e B_s, B_s-1,…, B são as constantes a serem determinadas.

Exemplo

Queremos decompor a seguinte função racional em frações parciais:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Como x² - 4x + 5 é um fator quadrático irredutível, temos que sua decomposição em frações parciais é dada por:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Simplificando e desenvolvendo, temos:

x - 2 = A (x²- 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Do exposto, temos o seguinte sistema de equações:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Ao resolver o sistema, ficamos com:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 e E = - 3/5.

Ao substituir os valores obtidos temos:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

Formulários

Cálculo integral

As frações parciais são usadas principalmente para o estudo do cálculo integral. Aqui estão alguns exemplos de como realizar integrais usando frações parciais.

Exemplo 1

Queremos calcular a integral de:

Podemos ver que o denominador q (x) = (t + 2)²(t + 1) é composto de fatores lineares onde um deles é repetido; é por isso que estamos no caso 2.

Temos que:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Reescrevemos a equação e temos:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Se t = - 1, temos:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Se t = - 2, isso nos dá:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Então, se t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Substituindo os valores de A e C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Do exposto, temos que B = - 1.

Reescrevemos a integral como:

Procedemos para resolvê-lo pelo método de substituição:

Este é o resultado:

Exemplo 2

Resolva o seguinte integral:

Neste caso, podemos fatorar para q (x) = x² - 4 como q (x) = (x - 2) (x + 2). Estamos claramente no caso 1. Portanto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Também pode ser expresso como:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Se x = - 2, temos:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

E se x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Assim, resta-nos resolver a integral dada é equivalente a resolver:

Isso nos dá como resultado:

Exemplo 3

Resolva o integral:

Temos que q (x) = 9x⁴ + x² , que podemos fatorar em q (x) = x²(9x² + 1).

Desta vez, temos um fator linear repetido e um fator quadrático; ou seja, estamos no caso 3.

Temos que:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

Agrupando e usando polinômios iguais, temos:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Deste sistema de equações, temos:

D = - 9 e C = 0

Desta forma, temos:

Ao resolver o acima, temos:

Lei da ação em massa

Uma aplicação interessante das frações parciais aplicadas ao cálculo integral é encontrada na química, mais precisamente na lei de ação da massa.

Suponha que temos duas substâncias, A e B, que se unem e formam uma substância C, de modo que a derivada da quantidade de C em relação ao tempo é proporcional ao produto das quantidades de A e B em um determinado momento.

Podemos expressar a lei da ação em massa da seguinte forma:

Nesta expressão α é o número inicial de gramas correspondendo a A e β o número inicial de gramas correspondendo a B.

Além disso, r e s representam o número de gramas de A e B respectivamente que se combinam para formar r + s gramas de C. Por sua vez, x representa o número de gramas da substância C no tempo t, e K é o constante de proporcionalidade. A equação acima pode ser reescrita como:

Fazendo a seguinte mudança:

Temos que a equação se torna:

A partir dessa expressão podemos obter:

Onde se a ≠ b, frações parciais podem ser usadas para integração.

Exemplo

Tomemos por exemplo uma substância C que surge da combinação de uma substância A com a B, de forma que a lei da massa seja cumprida onde os valores de aeb são 8 e 6 respectivamente. Dê uma equação que nos dê o valor em gramas de C em função do tempo.

Substituindo os valores na lei de massa dada, temos:

Ao separar as variáveis, temos:

Aqui 1 / (8 - x) (6 - x) pode ser escrito como a soma das frações parciais, como segue:

Assim, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Se substituirmos 6 por x, teremos B = 1/2; e substituindo 8 por x, temos A = - 1/2.

Integrando por frações parciais temos:

Isso nos dá como resultado:

Equações diferenciais: equação logística

Outra aplicação que pode ser dada às frações parciais é na equação diferencial logística. Em modelos simples, temos que a taxa de crescimento de uma população é proporcional ao seu tamanho; quer dizer:

Esse caso é um ideal e é considerado realista até que aconteça que os recursos disponíveis em um sistema sejam insuficientes para o sustento da população.

Nessas situações, o mais razoável é pensar que existe uma capacidade máxima, que chamaremos de L, que o sistema pode sustentar e que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população multiplicado pelo tamanho disponível. Este argumento leva à seguinte equação diferencial:

Essa expressão é chamada de equação diferencial logística. É uma equação diferencial separável que pode ser resolvida com o método de integração de fração parcial.

Exemplo

Um exemplo seria considerar uma população que cresce de acordo com a seguinte equação diferencial logística y '= 0,0004y (1000 - y), cujos dados iniciais são 400. Queremos saber o tamanho da população no momento t = 2, onde t é medido em anos.

Se escrevermos y 'com a notação de Leibniz como uma função que depende de t, temos:

A integral no lado esquerdo pode ser resolvida usando o método de integração da fração parcial:

Podemos reescrever esta última igualdade da seguinte maneira:

- Substituindo y = 0, temos que A é igual a 1/1000.

- Substituindo y = 1000, temos que B é igual a 1/1000.

Com esses valores, a integral é a seguinte:

A solução é:

Usando os dados iniciais:

Ao limpar e temos:

Então temos isso em t = 2:

Concluindo, após 2 anos o tamanho da população é de aproximadamente 597,37.

Referências

A, R. A. (2012). Matemática 1. Universidade dos Andes. Conselho de Publicações.
Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 Integrais resolvidos. Universidade Nacional Experimental de Tachira.
Leithold, L. (1992). O cálculo com geometria analítica. HARLA, S.A.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
Saenz, J. (s.f.). Cálculo integral. Hipotenusa.