Fator comum: características, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Fator comum: características, exemplos, exercícios - Ciência
Fator comum: características, exemplos, exercícios - Ciência

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o fator comum de uma expressão algébrica é uma quantidade que está presente em todos os termos dela. Quando o fator comum é conhecido, é possível escrever a expressão de forma equivalente usando um produto de fatores.

Nem todas as expressões algébricas têm um fator comum, existem aquelas que só se dividem entre si e 1, portanto não é possível escrevê-las como produto de fatores. Um exemplo de expressão que não tem fator comum é:

x + y

Em vez disso, este faz:

5a + 10b

Vê-se que 5 está presente em ambos os termos, pois 10 = 5 ∙ 2. Como 5 é o fator comum, o seguinte pode ser escrito:

5a + 10b = 5 ∙ (a + 2b)

O leitor pode verificar por meio da propriedade distributiva, que a expressão à direita é igual à original.


O fator comum também pode ser literal ou uma combinação de números e letras, por exemplo em 4x2 - 2x. o x e ele 2 estão entre os fatores e a expressão permanece como um produto:

4x2 - 2x = 2x⋅ (x - 1)

A vantagem de encontrar o fator comum de uma expressão e escrevê-lo como um produto é que quase sempre é mais fácil trabalhar com ele. É por isso que é usado em muitos procedimentos algébricos e de cálculo, como:

-Ao resolver equações, as soluções das quais são rapidamente reveladas quando o fator comum é encontrado.

-Ao calcular um limite com uma indeterminação, ele pode desaparecer por meio da fatoração adequada.

-Fatoração adequada também facilita operações com expressões algébricas racionais, como adição e subtração.

Características do fator comum

As principais características do fator comum são as seguintes:

-Pode ser um número, uma expressão algébrica ou uma combinação de ambos.


-O fator comum deve estar contido em cada um dos termos da expressão a fatorar.

-Dependendo do número de termos que contém, pode ser o caso de:

  1. Fator comum monomial, se o fator comum for um único termo,
  2. Fator comum binomial se tiver dois termos e
  3. Fator comum polinomial, se o fator comum consistir em vários termos.

Como encontrar o fator comum de uma expressão algébrica?

Para encontrar o fator comum presente em um polinômio, devemos calcular o maior divisor comum ou GCF dos coeficientes numéricos de todos os termos, bem como das letras ou literais de cada termo e escolher a potência com o menor expoente.

As letras ou literais podem ser apresentados como monômios, binômios ou polinômios, como será visto nos exemplos a seguir.

A melhor coisa a fazer para entender o processo de obtenção do fator comum é seguir os exemplos e praticar a resolução de vários exercícios para cada caso.


Exemplos de fatores comuns

Lembre-se de que o objetivo da fatoração por fator comum é converter uma expressão em um produto indicado de fatores. Os casos mais relevantes são analisados ​​a seguir:

Fator comum monomial

Temos os seguintes monômios (expressões algébricas de um único termo):

2x2; 10x4Y; 100x6Y2

Qual pode ser o fator comum a todos os três?

Começando com os coeficientes numéricos: 2, 10 e 100, eles são todos pares e seu GCF é 2. Quanto à parte literal, a variável x está presente em todos os três termos, e a menor potência é x2, então o fator comum é 2x2.

Os três termos propostos podem ser escritos como produtos do referido fator desta forma:

2x2= 2x2∙1

10x4y = 2x2 ∙ 5x2Y

100x6Y2= 2x2∙ 50x4Y2

Multiplicando os fatores da direita, pode-se verificar que o termo da esquerda é obtido.

Esta técnica é aplicada quando você precisa fatorar uma expressão algébrica, como nos exemplos a seguir:

  • Exemplo 1

Fatore a seguinte expressão:

5x3e + 10x2Y2 + 5xy2

O GCF dos coeficientes numéricos de cada termo é:

GCF (5,10) = 5

Quanto à parte literal, tanto o x como a Y estão presentes em todos os três termos e o menor expoente de cada um é 1, portanto, o fator comum é 5xy e você pode escrever:

5x3e + 10x2Y2 + 5xy2= 5xy ∙ (x2 + 2xy2+ e)

Polinômio de fator comum

O fator comum pode consistir em um binômio, um trinômio ou, em geral, um polinômio. Nesse caso, as instruções da seção anterior ainda são válidas, escolhendo-se aquela com o expoente mais baixo como fator comum.

  • Exemplo 2

Escreva a seguinte expressão como o produto de dois fatores:

2a (x - 1) - 3b (x - 1)

Por inspeção direta, o fator comum é o binômio (x - 1), tão:

2a (x - 1) - 3b (x - 1) = (x-1) ∙ (2a - 3b)

Fatoração por agrupamento de termos

Às vezes, a existência de um fator comum não é evidente, mas torna-se evidente se os termos forem agrupados de maneira conveniente:

  • Exemplo 3

Fator 3x3 - 9ax2 - x + 3a

À primeira vista, não há um fator comum a esses quatro termos, uma vez que, por exemplo, o x está presente nas três primeiras, mas não nas últimas. E a para ela se encontra no segundo e no último nada mais.

Em relação aos coeficientes, existem três termos em que 3 está presente, porém para ser um fator comum deve ser em todos os termos.

Parece que as técnicas descritas não podem ser aplicadas neste momento. No entanto, a expressão pode ser fatorada agrupando os dois primeiros termos e os dois últimos, tendo o cuidado ao colocar os parênteses, que os sinais sejam adequados para não alterar o original:

3x3 - 9ax2 - x + 3a = (3x3 - 9ax2) - (x - 3a)

Observe o sinal negativo no meio dos parênteses: é necessário, caso contrário, a expressão original mudaria.

Nos parênteses à esquerda, o fator comum é 3x2, portanto:

(3x3 - 9ax2) - (x - 3a) = 3x2⋅ (x - 3a) - (x - 3a)

E observa-se que um fator comum já apareceu: (x - 3a), ou seja, é fatorado uma segunda vez para obter:

3x2 (x- 3a) - (x - 3a) = (x - 3a) ∙ (3x2– 1)

Exercícios de fator comum

Exercício 1

Resolva a equação 4x3 + 7x2 + 6x = 0

Solução

O "x" é um fator comum, portanto:

3x3 -5x2 + 2x = x (3x2 −5x +2) = 0

Para que a expressão à esquerda seja 0, uma dessas duas condições é suficiente:

x = 0

OU:

3x2 −5x +2 = 0

Esta é uma equação quadrática completa que pode ser resolvida aplicando a fórmula geral, também usando uma calculadora científica ou outro método algébrico. As soluções desta equação são:

x = 1

x = 2/3

Uma vez encontrada, é ilustrativo escrever a equação como o produto de 3 fatores, embora a declaração não o solicite. Seria assim:

x⋅ (x-1) ⋅ (x-2/3) = 0

Exercício 2

Calcule o seguinte limite, se existir:

Solução

Primeiro é substituído em x = −2 para tentar avaliar o limite, obtendo assim:

Como essa é uma indeterminação da forma 0/0, você deve fatorar para tentar eliminá-la. O denominador não pode ser fatorado, mas o numerador pode.

No numerador, o fator comum é x:

x2+ 2x = x ∙ (x + 2)

A expressão fatorada no limite é substituída e assim a indeterminação desaparece:

Conclui-se que o limite existe e é igual a −2.

Referências

  1. Baldor, A. 2005. Algebra. Grupo Cultural Patria.
  2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
  3. Larson, R. 2012. Precalculus. 8º. Edição. Cengage Learning.
  4. Stewart, J. 2007. Pré-cálculo: Matemática para o cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
  5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.