Probabilidade condicional: fórmula e equações, propriedades, exemplos - Ciência - 2023

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o Probabilidade Condicional É a possibilidade de ocorrência de um determinado evento, desde que outro ocorra como condição. Essas informações adicionais podem (ou não) modificar a percepção de que algo vai acontecer.

Por exemplo, podemos nos perguntar: "Qual é a probabilidade de que vai chover hoje, já que não chove há dois dias?" O evento para o qual queremos saber a probabilidade é que chova hoje, e a informação adicional que condicionaria a resposta é que "não chove há dois dias".

Seja um espaço probabilístico composto por Ω (espaço amostral), ℬ (os eventos aleatórios) e P (a probabilidade de cada evento), mais os eventos A e B que pertencem a ℬ.

A probabilidade condicional de que A ocorra, dado que B ocorreu, que é denotada como P (A│B), é definida da seguinte forma:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B)

Onde: P (A) é a probabilidade de ocorrência de A, P (B) é a probabilidade do evento B e é diferente de 0, e P (A∩B) é a probabilidade da interseção entre A e B, ou seja, , a probabilidade de que ambos os eventos ocorram (probabilidade conjunta).

Esta é uma expressão para o teorema de Bayes aplicado a dois eventos, proposto em 1763 pelo teólogo e matemático inglês Thomas Bayes.

Propriedades

- Todas as probabilidades condicionais estão entre 0 e 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- A probabilidade de que o evento A ocorra, dado que o dito evento ocorre, é obviamente 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Se dois eventos são exclusivos, ou seja, eventos que não podem acontecer simultaneamente, a probabilidade condicional de que um deles aconteça é 0, já que a interseção é nula:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Se B é um subconjunto de A, então a probabilidade condicional também é 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Importante

P (A│B) geralmente não é igual a P (B│A), portanto, devemos ter cuidado para não intercambiar os eventos ao encontrar a probabilidade condicional.

Regra geral de multiplicação

Muitas vezes você deseja encontrar a probabilidade conjunta P (A∩B), em vez da probabilidade condicional. Então, por meio do seguinte teorema, temos:

P (A∩B) = P (A e B) = P (A│B). P (B)

O teorema pode ser estendido para três eventos A, B e C:

P (A∩B∩C) = P (A e B e C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

E também para vários eventos, como A₁, PARA₂, PARA₃ e mais, pode ser expresso da seguinte forma:

P (A₁∩ A₂∩ A₃… ∩ A_n) = P (A₁) P (A₂│A₁) P (A₃│A₁∩ A₂) ... P (A_n││A₁∩ A₂∩ ... A_n-1)

Quando se trata de eventos que ocorrem em sequência e por diferentes etapas, é conveniente organizar os dados em diagrama ou tabela. Isso facilita a visualização das opções para atingir a probabilidade solicitada.

Exemplos disso são diagrama de árvore e a tabela de contingência. De um deles você pode construir o outro.

Exemplos de probabilidade condicional

Vejamos algumas situações em que as probabilidades de um evento são alteradas pela ocorrência de outro:

- Exemplo 1

Dois tipos de bolos são vendidos em uma loja de doces: morango e chocolate. Ao registrar as preferências de 50 clientes de ambos os sexos, foram determinados os seguintes valores:

-27 mulheres, das quais 11 preferem bolo de morango e 16 de chocolate.

-23 homens: 15 escolhem chocolate e 8 morango.

A probabilidade de um cliente escolher um bolo de chocolate pode ser determinada pela aplicação da regra de Laplace, de acordo com a qual a probabilidade de qualquer evento é:

P = número de eventos favoráveis / número total de eventos

Nesse caso, de 50 clientes, um total de 31 prefere chocolate, então a probabilidade seria P = 31/50 = 0,62. Ou seja, 62% dos clientes preferem bolo de chocolate.

Mas seria diferente se a cliente fosse mulher? Este é um caso de probabilidade condicional.

Tabela de contingência

Usando uma tabela de contingência como esta, os totais são facilmente exibidos:

Em seguida, os casos favoráveis são observados e a regra de Laplace é aplicada, mas primeiro definimos os eventos:

-B é o evento "cliente feminino".

-A é o evento “prefiro bolo de chocolate” sendo mulher.

Vamos para a coluna chamada "mulheres" e lá vemos que o total é 27.

Em seguida, o caso favorável é procurado na linha "chocolate". São 16 desses eventos, portanto a probabilidade buscada é, diretamente:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% das clientes mulheres preferem bolo de chocolate.

Este valor coincide quando o contrastamos com a definição inicialmente dada de probabilidade condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Certificamo-nos de usar a regra de Laplace e os valores da tabela:

P (B) = 27/50

P (A e B) = 16/50

Onde P (A e B) é a probabilidade de o cliente preferir chocolate e ser mulher. Agora os valores são substituídos:

P (A│B) = P (A e B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

E está comprovado que o resultado é o mesmo.

- Exemplo 2

Neste exemplo, a regra de multiplicação se aplica. Suponha que existam calças em três tamanhos em exposição em uma loja: pequena, média e grande.

Em um lote com um total de 24 calças, das quais são 8 de cada tamanho e todas são misturadas, qual seria a probabilidade de extrair duas delas e de ambas serem pequenas?

É claro que a probabilidade de retirar uma calça pequena na primeira tentativa é 8/24 = 1/3. Agora, a segunda extração é condicional ao primeiro evento, pois ao retirar uma calça, não há mais 24, mas 23. E se tirar uma calça pequena, são 7 em vez de 8.

O evento A está puxando uma calça pequena, tendo puxado outra na primeira tentativa. E o evento B é aquele com as calças pequenas pela primeira vez. Portanto:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Finalmente, usando a regra de multiplicação:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Exercício resolvido

Em um estudo de pontualidade em voos comerciais, os seguintes dados estão disponíveis:

-P (B) = 0,83, é a probabilidade de um avião decolar no horário.

-P (A) = 0,81, é a probabilidade de pousar na hora.

-P (B∩A) = 0,78 é a probabilidade de que o vôo chegue no horário e decole no horário.

É pedido para calcular:

a) Qual é a probabilidade de o avião pousar na hora, uma vez que decolou na hora?

b) A probabilidade acima é a mesma que a probabilidade de você ter saído na hora se conseguisse pousar na hora?

c) E por último: qual a probabilidade de que chegue a tempo dado que não saiu na hora certa?

Solução para

Para responder à pergunta, a definição de probabilidade condicional é usada:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Solução b

Neste caso, os eventos na definição são trocados:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A e B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Observe que essa probabilidade é ligeiramente diferente da anterior, como apontamos anteriormente.

Solução c

A probabilidade de não sair a tempo é 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, vamos chamá-lo de P (B)^C), porque é o evento complementar para decolar no horário. A probabilidade condicional procurada é:

P (A│B^C) = P (A∩B^C) / P (B^C) = P (A e B^C) / P (B^C)

Por outro lado:

P (A∩B^C) = P (pouso no horário) - P (pouso no horário e decolagem no horário) = 0,81-0,78 = 0,03

Neste caso, a probabilidade condicional procurada é:

P (A│B^C) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

Referências

Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Pearson.
Wikipedia. Probabilidade Condicional. Recuperado de: es.wikipedia.org.