Teorema Binomial: Prova e Exemplos - Ciência - 2023

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o teorema binomial é uma equação que nos diz como desenvolver uma expressão da forma (a + b)ⁿ para algum número natural n. Um binômio nada mais é do que a soma de dois elementos, como (a + b). Também nos permite saber para um termo dado por um^kb^n-k qual é o coeficiente que o acompanha.

Este teorema é comumente atribuído ao inventor, físico e matemático inglês Sir Isaac Newton; No entanto, vários registros foram encontrados indicando que sua existência já era conhecida no Oriente Médio, por volta do ano 1000.

Números combinatórios

O teorema binomial matematicamente nos diz o seguinte:

Nesta expressão, aeb são números reais en é um número natural.

Antes de fazer a demonstração, vamos examinar alguns conceitos básicos que são necessários.

O número combinatório ou combinações de n em k são expressos como segue:

Esta forma expressa o valor de quantos subconjuntos com k elementos podem ser escolhidos de um conjunto de n elementos. Sua expressão algébrica é dada por:

Vejamos um exemplo: suponha que temos um grupo de sete bolas, das quais duas são vermelhas e as demais são azuis.

Queremos saber de quantas maneiras podemos organizá-los em uma fileira. Uma forma poderia ser colocar as duas vermelhas na primeira e segunda posições, e o resto das bolas nas posições restantes.

Semelhante ao caso anterior, poderíamos dar às bolas vermelhas a primeira e a última posição, respectivamente, e ocupar as outras com bolas azuis.

Agora, uma maneira eficiente de contar quantas maneiras podemos organizar as bolas em uma linha é usando números combinatórios. Podemos ver cada posição como um elemento do seguinte conjunto:

Então, resta escolher um subconjunto de dois elementos, em que cada um desses elementos representa a posição que as bolas vermelhas irão ocupar. Podemos fazer essa escolha de acordo com a relação dada por:

Desta forma, temos que existem 21 formas de encomendar estas bolas.

A ideia geral deste exemplo será muito útil para provar o teorema binomial. Vejamos um caso particular: se n = 4, temos (a + b)⁴, que nada mais é do que:

Ao desenvolver este produto, ficamos com a soma dos termos obtidos pela multiplicação de um elemento de cada um dos quatro fatores (a + b). Assim, teremos termos que serão da forma:

Se quiséssemos obter o termo do formulário a⁴, basta multiplicar da seguinte forma:

Observe que só existe uma maneira de obter esse elemento; mas, o que acontece se procurarmos agora o termo da forma a²b²? Como "a" e "b" são números reais e, portanto, a lei comutativa é válida, temos que uma das formas de obter este termo é multiplicando pelos membros indicados pelas setas.

Executar todas essas operações geralmente é um tanto tedioso, mas se virmos o termo "a" como uma combinação em que queremos saber de quantas maneiras podemos escolher dois "a" de um conjunto de quatro fatores, podemos usar a ideia do exemplo anterior. Portanto, temos o seguinte:

Assim, sabemos que na expansão final da expressão (a + b)⁴ teremos exatamente 6a²b². Usando a mesma ideia para os outros elementos, você deve:

Em seguida, adicionamos as expressões obtidas anteriormente e temos isso:

Esta é uma prova formal para o caso geral em que "n" é qualquer número natural.

Demonstração

Observe que os termos que permanecem durante o desenvolvimento (a + b)ⁿ Eles são da forma de^kb^n-k, onde k = 0,1,…, n. Usando a ideia do exemplo anterior, temos a maneira de escolher as variáveis "k" "a" dos fatores "n":

Ao escolher desta forma, estamos escolhendo automaticamente n-k variáveis "b". Disto se segue que:

Exemplos

Considerando (a + b)⁵Qual seria o seu desenvolvimento?

Pelo teorema binomial, temos:

O teorema binomial é muito útil se tivermos uma expressão na qual queremos saber qual é o coeficiente de um termo específico sem ter que fazer a expansão completa. Como exemplo, podemos tomar a seguinte incógnita: qual é o coeficiente de x⁷Y⁹ na expansão de (x + y)¹⁶?

Pelo teorema binomial, temos que o coeficiente é:

Outro exemplo seria: qual é o coeficiente de x⁵Y⁸ no desenvolvimento de (3x-7y)¹³?

Primeiro, reescrevemos a expressão de maneira conveniente; isto é:

Então, usando o teorema binomial, temos que o coeficiente procurado é quando temos k = 5

Outro exemplo dos usos desse teorema está na prova de algumas identidades comuns, como as que mencionaremos a seguir.

Identidade 1

Se "n" é um número natural, temos:

Para a prova usamos o teorema binomial, onde tanto "a" quanto "b" tomam o valor de 1. Então temos:

Desta forma, provamos a primeira identidade.

Identidade 2

Se "n" é um número natural, então

Pelo teorema binomial, temos:

Outra demo

Podemos fazer uma prova diferente para o teorema binomial usando o método indutivo e a identidade de Pascal, que nos diz que, se “n” e “k” são inteiros positivos que satisfazem n ≥ k, então:

Prova de indução

Vamos primeiro ver se a base indutiva se mantém. Se n = 1, temos:

Na verdade, vemos que está cumprido. Agora, seja n = j tal que:

Queremos ver que para n = j + 1 é verdade que:

Portanto, temos que:

Por hipótese, sabemos que:

Então, usando a propriedade distributiva:

Posteriormente, desenvolvendo cada uma das somas, temos:

Agora, se agruparmos de forma conveniente, temos que:

Usando a identidade de pascal, temos:

Finalmente, observe que:

Portanto, vemos que o teorema binomial é válido para todos os "n" pertencentes aos números naturais, e com isso termina a prova.

Curiosidades

O número combinatório (nk) também é chamado de coeficiente binomial porque é precisamente o coeficiente que aparece no desenvolvimento do binomial (a + b)ⁿ.

Isaac Newton deu uma generalização deste teorema para o caso em que o expoente é um número real; Este teorema é conhecido como teorema binomial de Newton.

Já na antiguidade esse resultado era conhecido para o caso particular em que n = 2. Este caso é mencionado no Elements de Euclides.

Referências

Johnsonbaugh Richard. Matemática discreta. PHH
Kenneth.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications. S.A. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Seymour Lipschutz, Ph.D e Marc Lipson. Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
Ralph P. Grimaldi. Matemática Discreta e Combinatória. Addison-Wesley Iberoamericana
Green Star Luis. . Matemática Discreta e Combinatória Anthropos