Velocidade angular média: definição e fórmulas, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o velocidade angular média A rotação é definida como o ângulo girado por unidade de tempo do vetor de posição de um ponto que descreve o movimento circular. As pás de um ventilador de teto (como a mostrada na figura 1) seguem um movimento circular e sua velocidade angular média de rotação é calculada tomando o quociente entre o ângulo girado e o tempo em que esse ângulo foi percorrido.

As regras seguidas pelo movimento rotacional são um tanto semelhantes às conhecidas para o movimento translacional. As distâncias percorridas também podem ser medidas em metros, porém as magnitudes angulares são especialmente relevantes porque facilitam muito a descrição do movimento.

Em geral, as letras gregas são usadas para quantidades angulares e as letras latinas para as quantidades lineares correspondentes.

Definição e fórmulas

Na figura 2, o movimento de um ponto em um caminho circular c é representado. A posição P do ponto corresponde ao instante t e a posição angular correspondente a esse instante é ϕ.

A partir do instante t, decorre um período de tempo Δt. Neste período, a nova posição do ponto é P 'e a posição angular aumentou em um ângulo ϕϕ.

A velocidade angular média ω é o ângulo percorrido por unidade de tempo, de modo que o quociente Δϕ / Δt representará a velocidade angular média entre os tempos t e t + Δt:

Como o ângulo é medido em radianos e o tempo em segundos, a unidade para a velocidade angular média é rad / s. Se você deseja calcular o velocidade angular bem no instante t, então teremos que calcular a razão Δϕ / Δt quando Δt ➡0.

Rotação uniforme

Um movimento rotacional é uniforme se, em qualquer instante observado, o ângulo percorrido for o mesmo no mesmo período de tempo. Se a rotação for uniforme, então a velocidade angular em qualquer instante coincide com a velocidade angular média.

Em um movimento de rotação uniforme, o tempo em que uma revolução completa é feita é chamado de período e é denotado por T.

Além disso, quando uma volta completa é feita, o ângulo percorrido é de 2π, portanto, em uma rotação uniforme, a velocidade angular ω está relacionada ao período T, usando a seguinte fórmula:

Define o frequência F de uma rotação uniforme como o quociente entre o número de voltas e o tempo utilizado para percorrê-las, ou seja, se N voltas forem feitas no tempo Δt então a frequência será:

f = N / Δt

Uma vez que uma curva (N = 1) é percorrida no tempo T (o período), a seguinte relação é obtida:

f = 1 / T

Ou seja, em uma rotação uniforme a velocidade angular está relacionada à frequência por meio da relação:

ω = 2π ・ f

Relação entre velocidade angular e velocidade linear

Velocidade linear v, é o quociente entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Na figura 2, a distância percorrida é o comprimento do arco Δs.

O arco Δs é proporcional ao ângulo percorrido Δϕ e ao raio r, sendo cumprida a seguinte relação:

Δs = r ・ Δϕ

Desde que ϕϕ seja medido em radianos.

Se dividirmos a expressão anterior pelo lapso de tempo Δt, obteremos:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

O quociente do primeiro membro é a velocidade linear e o quociente do segundo membro é a velocidade angular média:

v = r ・ ω

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

As pontas das pás do ventilador de teto mostradas na Figura 1 movem-se com velocidade de 5 m / se as pás possuem raio de 40 cm.

Com esses dados, calcule: i) a velocidade angular média da roda, ii) o número de voltas que a roda dá em um segundo, iii) o período em segundos.

Solução

i) A velocidade linear é v = 5 m / s.

O raio é r = 0,40 m.

A partir da relação entre a velocidade linear e a velocidade angular, resolvemos para a última:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 voltas / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 voltas / s) = 0,5 s para cada volta.

-Exercício 2

Um carrinho de brinquedo se move em uma pista circular com um raio de 2m. Em 0s sua posição angular é 0 rad, mas após o tempo t sua posição angular é

φ (t) = 2 ・ t.

Com esses dados

i) Calcule a velocidade angular média nos seguintes intervalos de tempo [0s, 0,5s]; [0,5s, 1,0s]; [1.0s, 1.5s] e finalmente no período [0.0s, 1.5s].

ii) Com base nos resultados da parte i) O que pode ser dito sobre o movimento?

iii) Determine a velocidade linear média no mesmo período de tempo que na parte i)

iv) Encontre a velocidade angular e a velocidade linear para qualquer instante.

Solução

i) A velocidade angular média é dada pela seguinte fórmula:

Passamos a calcular o ângulo percorrido e o lapso de tempo decorrido em cada intervalo.

Intervalo 1: Δϕ = ϕ (0,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 0,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 1,0 rad

Δt = 0,5s - 0,0s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalo 2: Δϕ = ϕ (1,0s) - ϕ (0,5s) = 2 (rad / s) * 1,0s - 2 (rad / s) * 0,5s = 1,0 rad

Δt = 1,0s - 0,5s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalo 3: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (1,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 1,0s = 1,0 rad

Δt = 1,5s - 1,0s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalo 4: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 3,0 rad

Δt = 1.5s - 0.0s = 1.5s

ω = Δϕ / Δt = 3,0rad / 1,5s = 2,0 rad / s

ii) Tendo em vista os resultados anteriores, nos quais a velocidade angular média foi calculada em diferentes intervalos de tempo, obtendo-se sempre o mesmo resultado, parece indicar que se trata de um movimento circular uniforme. No entanto, esses resultados não são conclusivos.

A maneira de garantir a conclusão é calcular a velocidade angular média para um intervalo arbitrário [t, t ']: Δϕ = ϕ (t') - ϕ (t) = 2 * t '- 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t ’- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t’-t) / (t’-t) = 2,0 rad / s

Isso significa que o carrinho de brinquedo tem uma velocidade angular média constante de 2 rad / s em qualquer período de tempo considerado. Mas você pode ir mais longe se calcular a velocidade angular instantânea:

Isso é interpretado como se o carrinho de brinquedo sempre tivesse velocidade angular constante = 2 rad / s.

Referências

Giancoli, D. Physics. Princípios com aplicativos. 6ª Edição. Prentice Hall. 30-45.
Kirkpatrick, L. 2007. Physics: A Look at the World. 6^ta Edição reduzida. Cengage Learning. 117
Resnick, R. (1999). Fisica. Volume 1. Terceira edição em espanhol. México. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V. 33-52.
Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Edição. México. Editores do Cengage Learning. 32-55.
Wikipedia. Velocidade angular. Recuperado de: wikipedia.com