Teorema de Torricelli: em que consiste, fórmulas e exercícios - Ciência - 2023

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o Teorema de Torricelli O princípio de Torricelli afirma que a velocidade do líquido que sai pelo orifício na parede de um tanque ou recipiente é idêntica à de um objeto que pode cair livremente de uma altura igual à da superfície livre do líquido até o buraco.

O teorema é ilustrado na figura a seguir:

Devido ao teorema de Torricelli, podemos então afirmar que a velocidade de saída do líquido através de um orifício que está na altura h abaixo da superfície livre do líquido é dada pela seguinte fórmula:

Onde g é a aceleração da gravidade eh é a altura do buraco até a superfície livre do líquido.

Evangelista Torricelli foi um físico e matemático nascido na cidade de Faenza, Itália, em 1608. Torricelli é o responsável pela invenção do barômetro de mercúrio e como reconhecimento existe uma unidade de pressão chamada “torr”, equivalente a um milímetro de mercúrio (mm de Hg).

Prova do teorema

No teorema de Torricelli e na fórmula que dá a velocidade, ele assume que as perdas de viscosidade são desprezíveis, assim como em queda livre, presume-se que o atrito devido ao ar ao redor do objeto em queda é desprezível.

A suposição acima é razoável na maioria dos casos e também envolve a conservação de energia mecânica.

Para provar o teorema, primeiro encontraremos a fórmula da velocidade para um objeto que é lançado com velocidade inicial zero, da mesma altura da superfície do líquido no tanque.

O princípio de conservação de energia será aplicado para obter a velocidade do objeto em queda apenas quando ele desceu uma altura h igual ao do furo até a superfície livre.

Como não há perdas por atrito, é válido aplicar o princípio da conservação da energia mecânica. Suponha que o objeto em queda tenha massa m e a altura h seja medida a partir do nível de saída do líquido.

Objeto em queda

Quando o objeto é liberado de uma altura igual à da superfície livre do líquido, sua energia é apenas potencial gravitacional, pois sua velocidade é zero e, portanto, sua energia cinética é zero. A energia potencial Ep é dada por:

Ep = m g h

Quando passa na frente do buraco, sua altura é zero, então a energia potencial é zero, então ele só tem energia cinética Ec dada por:

Ec = ½ m v²

Uma vez que a energia é conservada Ep = Ec do que é obtido:

½ m v² = m g h

Resolvendo para velocidade v a fórmula de Torricelli é então obtida:

Líquido saindo do buraco

A seguir, encontraremos a velocidade de saída do líquido pelo orifício, para mostrar que ela coincide com a que acabou de ser calculada para um objeto em queda livre.

Para isso nos basearemos no princípio de Bernoulli, que nada mais é do que a conservação da energia aplicada aos fluidos.

O princípio de Bernoulli é formulado assim:

A interpretação desta fórmula é a seguinte:

O primeiro termo representa a energia cinética do fluido por unidade de volume
O segundo representa o trabalho realizado por pressão por unidade de área de seção transversal
O terceiro representa a energia potencial gravitacional por unidade de volume de fluido.

Como partimos da premissa de que se trata de um fluido ideal, em condições não turbulentas e com velocidades relativamente baixas, é pertinente afirmar que a energia mecânica por unidade de volume no fluido é constante em todas as suas regiões ou seções transversais.

Nesta fórmula V é a velocidade do fluido, ρ a densidade do fluido, P pressão ez a posição vertical.

A figura abaixo mostra a fórmula de Torricelli a partir do princípio de Bernoulli.

Aplicamos a fórmula de Bernoulli na superfície livre do líquido que denotamos por (1) e no orifício de saída que denotamos por (2). O nível de cabeça zero foi escolhido nivelado com o orifício de saída.

Sob a premissa de que a seção transversal em (1) é muito maior do que em (2), podemos assumir que a taxa de descida do líquido em (1) é praticamente desprezível.

É por isso que V₁= 0, a pressão à qual o líquido é submetido em (1) é a pressão atmosférica e a altura medida a partir do orifício é h.

Para a seção de saída (2), assumimos que a velocidade de saída é v, a pressão a que o líquido é submetido na saída também é a pressão atmosférica e a altura de saída é zero.

Os valores correspondentes às seções (1) e (2) são substituídos na fórmula de Bernoulli e iguais. A igualdade é mantida porque assumimos que o fluido é ideal e não há perdas por atrito viscoso. Uma vez que todos os termos tenham sido simplificados, a velocidade no orifício de saída é obtida.

A caixa anterior mostra que o resultado obtido é o mesmo de um objeto em queda livre,

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Eu) O pequeno tubo de saída de um tanque de água está 3 m abaixo da superfície da água. Calcule a velocidade de saída da água.

Solução:

A figura a seguir mostra como a fórmula de Torricelli é aplicada neste caso.

Exercício 2

II) Supondo que o tubo de saída do tanque do exercício anterior tenha um diâmetro de 1 cm, calcule a vazão de saída de água.

Solução:

A vazão é o volume de líquido que sai por unidade de tempo e é calculada simplesmente multiplicando a área do orifício de saída pela velocidade de saída.

A figura a seguir mostra os detalhes do cálculo.

Exercício 3

III) Determine a altura da superfície livre da água em um recipiente, se você souber

que em um buraco no fundo do recipiente, a água sai a 10 m / s.

Solução:

Mesmo quando o buraco está no fundo do recipiente, a fórmula Torricelli ainda pode ser aplicada.

A figura a seguir mostra o detalhe dos cálculos.

Referências

Wikipedia. Teorema de Torricelli.
Hewitt, P. Ciência Física Conceitual. Quinta edição.119.
Jovem, Hugh. 2016 Sears-Zemansky’s University Physics with Modern Physics. 14ª Ed. Pearson. 384.