Medição aproximada de figuras amorfas: exemplo e exercício - Ciência - 2023

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o medida aproximada de figuras amorfas consiste em uma série de métodos usados para determinar a área ou perímetro de figuras geométricas que não são triângulos, quadrados, círculos, etc. Alguns são extensíveis a figuras tridimensionais.

Basicamente, a medição consiste em fazer uma grade de alguma forma regular, como retângulos, quadrados ou trapézios, que cobrem aproximadamente a superfície. A precisão da aproximação da área obtida por esses métodos aumenta com a finura ou densidade da rede.

As Figuras 1 e 2 mostram várias figuras amorfas. Para calcular a área, foi feita uma grade, composta por 2 x 2 quadrados, que por sua vez são subdivididos em vinte e cinco quadrados 2/5 x 2/5.

Somando as áreas dos quadrados principais e dos quadrados secundários dá a área aproximada da figura amorfa.

Área sob uma curva

Freqüentemente, é necessário calcular aproximadamente a área sob uma curva entre dois valores limites.Neste caso, em vez de uma rede quadrada, podem ser desenhadas faixas retangulares que cobrem aproximadamente a área sob a referida curva.

A soma de todas as listras retangulares é chamada soma ou soma de Riemann. A Figura 3 mostra uma partição do intervalo [a, b] sobre o qual a área sob a curva deve ser aproximada.

Suponha que você queira calcular a área sob a curva dada pela função y = f (x), onde x pertence ao intervalo [a, b] dentro do qual você deseja calcular a área. Para isso, é feita uma partição de n elementos neste intervalo:

Partição = {x0 = a, x1, x2,…, xn = b}.

Em seguida, a área aproximada sob a curva dada por y = f (x) no intervalo [a, b] é obtida realizando a seguinte soma:

S = ∑_{k = 1}ⁿ f (t_k) (x_k - x_k-1)

Onde T_k está entre x_k-1 e x_k: x_k-1 ≤ t_k ≤ x_k .

A Figura 3 mostra graficamente a soma de Riemann da curva y = f (x) no intervalo [x0, x4]. Nesse caso, foi feita uma partição de quatro subintervalos e a soma representa a área total dos retângulos cinza.

Essa soma representa uma aproximação da área sob a curva f entre a abscissa x = x0 e x = x4.

A aproximação da área sob a curva melhora conforme o número n de partições é maior e tende a ser exatamente a área sob a curva quando o número n de partições tende ao infinito.

Caso a curva seja representada por uma função analítica, os valores f (t_k) são calculados avaliando esta função nos valores t_k. Mas se a curva não tiver uma expressão analítica, permanecem as seguintes possibilidades:

Aproxime a curva por uma função, por exemplo, um polinômio.
Pegue as coordenadas cartesianas dos pontos onde a curva se cruza com as linhas x = t_k.

Intervalos regulares

Dependendo da escolha do valor tk no intervalo [x_k, x_k-1], a soma pode superestimar ou subestimar o valor exato da área sob a curva da função y = f (x). O mais aconselhável é tomar o ponto tk onde a área faltante é aproximadamente igual à área excedente, embora nem sempre seja possível fazer tal escolha.

Pegue tk na extrema direita

A coisa mais prática então é usar intervalos regulares de largura Δx = (b - a) / n, onde aeb são os valores mínimo e máximo da abcissa, enquanto n é o número de subdivisões.

Nesse caso, a área sob a curva é aproximada por:

Área = {f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b)} * Δx

Na expressão acima, tk foi obtido na extremidade direita do subintervalo.

Pegue tk na extrema esquerda

Outra possibilidade prática é tomar o valor tk na extrema esquerda, caso em que a soma que se aproxima da área é expressa como:

Área = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx

Considere tk como valor central

Caso tk seja escolhido como o valor central do subintervalo regular de largura Δx, a soma que aproxima a área sob a curva é:

Área = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx

Qualquer uma dessas expressões tende para o valor exato na medida em que o número de subdivisões é arbitrariamente grande, ou seja, Δx tende a zero, mas, neste caso, o número de termos na soma torna-se imensamente grande com o consequente custo computacional.

Exemplo

A Figura 2 mostra uma figura amorfa, cujo contorno é semelhante ao das pedras da imagem 1. Para calcular sua área, ela é colocada em uma grade com quadrados principais de 2 x 2 unidades quadradas (por exemplo, podem ter 2 cm²).

E como cada quadrado é subdividido em 5 x 5 subdivisões, cada subdivisão tem uma área de 0,4 x 0,4 unidades quadradas (0,16 cm²).

A área da figura seria calculada assim:

Área = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²

Quer dizer:

Área = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².

Exercício resolvido

Calcule aproximadamente a área sob a curva dada pela função f (x) = x² entre a = -2 a b = +2. Para fazer isso, primeiro escreva a soma de n partições regulares do intervalo [a, b] e, em seguida, tome o limite matemático para o caso em que o número de partições tende ao infinito.

Solução

Primeiro, defina o intervalo das partições como

Δx = (b - a) / n.

Então, a soma da direita correspondente à função f (x) fica assim:

[-2 + (4i / n)]² = 4 - 16 i / n + (4 / n)² Eu²

E então é substituído na soma:

E os terceiros resultados:

S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n²

A escolha de um valor grande para n fornece uma boa aproximação da área sob a curva. No entanto, neste caso, é possível obter o valor exato tomando o limite matemático quando n tende para o infinito:

Area = lim_{n-> ∞}[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n²]

Área = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.

Referências

Casteleiro, J. M. 2002. Comprehensive Calculus (Edição Ilustrada). Madrid: Editorial ESIC.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Purcell, E. 2007. Calculus with Analytical Geometry. 9º. Edição. Pearson Education.
Unican. História do conceito de integral. Recuperado de: repositorio.unican.es
UIS. Riemann soma. Recuperado de: matematicas.uis.edu.co
Wikipedia. Área. Recuperado de: es.wikipedia.com