Técnicas de contagem: técnicas, aplicações, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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As técnicas de contagem são uma série de métodos de probabilidade para contar o número possível de arranjos dentro de um conjunto ou vários conjuntos de objetos. Estes são usados quando fazer as contas manualmente se torna complicado devido ao grande número de objetos e / ou variáveis.

Por exemplo, a solução para esse problema é muito simples: imagine que seu chefe lhe peça para contar os produtos mais recentes que chegaram na última hora. Neste caso, você pode ir e contar os produtos um por um.

Porém, imagine que o problema seja este: seu chefe pede para você contar quantos grupos de 5 produtos do mesmo tipo podem ser formados com aqueles que chegaram na última hora. Nesse caso, o cálculo é complicado. Para este tipo de situação são utilizadas as chamadas técnicas de contagem.

Essas técnicas são várias, mas as mais importantes são divididas em dois princípios básicos, que são o multiplicativo e o aditivo; permutações e combinações.

Princípio multiplicativo

Formulários

O princípio multiplicativo, junto com o aditivo, são básicos para entender o funcionamento das técnicas de contagem. No caso do multiplicativo, consiste no seguinte:

Vamos imaginar uma atividade que envolve um número específico de etapas (marcamos o total como “r”), onde a primeira etapa pode ser feita em N1 maneiras, a segunda etapa em N2 e a etapa “r” em Nr maneiras. Neste caso, a atividade poderia ser realizada a partir do número de formas resultantes desta operação: N1 x N2 x ……… .x Nr formas

É por isso que este princípio é chamado multiplicativo e implica que cada uma das etapas necessárias para realizar a atividade deve ser realizada uma após a outra.

Exemplo

Vamos imaginar uma pessoa que deseja construir uma escola. Para isso, considere que a base do edifício pode ser construída de duas formas diferentes, cimento ou concreto. Quanto às paredes, podem ser de adobe, cimento ou tijolo.

Já a cobertura pode ser em cimento ou chapa galvanizada. Por fim, a pintura final só pode ser feita de uma maneira. A questão que se coloca é a seguinte: De quantas maneiras ele tem para construir a escola?

Primeiro, consideramos o número de etapas, que seriam a base, as paredes, o telhado e a pintura. No total, 4 etapas, então r = 4.

O seguinte seria listar os Ns:

N1 = maneiras de construir a base = 2

N2 = formas de construir as paredes = 3

N3 = maneiras de fazer o telhado = 2

N4 = formas de pintar = 1

Portanto, o número de formas possíveis seria calculado usando a fórmula descrita acima:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneiras de fazer escola.

Princípio aditivo

Formulários

Este princípio é muito simples e consiste no facto de, no caso de haver várias alternativas para realizar a mesma actividade, os caminhos possíveis consistem no somatório dos diferentes modos possíveis de realizar todas as alternativas.

Em outras palavras, se quisermos realizar uma atividade com três alternativas, onde a primeira alternativa pode ser feita de M formas, a segunda de N formas e a última de W, a atividade pode ser feita de: M + N + ……… + Formas de W.

Exemplo

Imaginemos desta vez uma pessoa que queira comprar uma raquete de tênis. Para fazer isso, você pode escolher entre três marcas: Wilson, Babolat ou Head.

Quando você vai à loja, vê que a raquete Wilson pode ser comprada com cabo em dois tamanhos diferentes, L2 ou L3 em quatro modelos diferentes e pode ser enfiada ou não.

Já a raquete Babolat possui três cabos (L1, L2 e L3), existem dois modelos diferentes e também pode ser enfiada ou não.

A raquete de cabeça, por sua vez, só está disponível com uma alça, a L2, em dois modelos diferentes e apenas desencordoada. A questão é: de quantas maneiras essa pessoa tem para comprar sua raquete?

M = Número de maneiras de selecionar uma raquete Wilson

N = Número de maneiras de selecionar uma raquete Babolat

W = Número de maneiras de selecionar uma raquete de cabeça

Realizamos o princípio do multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneiras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneiras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneiras de escolher uma raquete.

Para saber quando usar o princípio multiplicativo e o aditivo, basta verificar se a atividade tem uma série de etapas a serem realizadas e, se houver várias alternativas, o aditivo.

Permutações

Formulários

Para entender o que é uma permutação, é importante explicar o que é uma combinação para que você possa diferenciá-los e saber quando usá-los.

Uma combinação seria um arranjo de elementos em que não nos interessa a posição que cada um deles ocupa.

Uma permutação, por outro lado, seria um arranjo de elementos em que estamos interessados na posição que cada um deles ocupa.

Vamos dar um exemplo para entender melhor a diferença.

Exemplo

Vamos imaginar uma turma com 35 alunos e com as seguintes situações:

O professor quer que três de seus alunos o ajudem a manter a sala de aula limpa ou a entregar materiais aos outros alunos quando ele precisar.
O professor quer nomear os delegados da turma (um presidente, um assistente e um financeiro).

A solução seria a seguinte:

Vamos imaginar que, por votação, Juan, María e Lucía sejam escolhidos para limpar a aula ou entregar os materiais. Obviamente, outros grupos de três pessoas poderiam ter sido formados, entre os 35 possíveis alunos.

Devemos nos perguntar o seguinte: a ordem ou posição de cada aluno é importante na hora de selecioná-los?

Se pensarmos bem, vemos que realmente não é importante, pois o grupo se encarregará das duas tarefas igualmente. Nesse caso, é uma combinação, uma vez que não estamos interessados na posição dos elementos.

Agora vamos imaginar que Juan seja eleito presidente, Maria como assistente e Lúcia como financiadora.

Nesse caso, o pedido importaria? A resposta é sim, porque se mudarmos os elementos, o resultado muda. Ou seja, se em vez de colocar Juan como presidente, o colocássemos como assistente e Maria como presidente, o resultado final mudaria. Nesse caso, é uma permutação.

Uma vez que a diferença seja compreendida, vamos obter as fórmulas para as permutações e combinações. No entanto, primeiro devemos definir o termo "n!" (ene fatorial), já que será utilizado nas diferentes fórmulas.

n! = o produto de 1 a n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..x n

Usando-o com números reais:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

A fórmula de permutações seria a seguinte:

nPr = n! / (n-r)!

Com ele podemos descobrir os arranjos em que a ordem é importante e onde os n elementos são diferentes.

Combinações

Formulários

Como comentamos anteriormente, as combinações são os arranjos em que não nos importamos com a posição dos elementos.

Sua fórmula é a seguinte:

nCr = n! / (n-r)! r!

Exemplo

Se houver 14 alunos que desejam se voluntariar para limpar a sala de aula, quantos grupos de limpeza podem ser formados se cada grupo for de 5 pessoas?

A solução, portanto, seria a seguinte:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupos

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Natalia é convidada por sua mãe para ir a um supermercado e comprar um refrigerante para ela se refrescar. Quando Natália pede uma bebida à balconista, ele diz que são quatro sabores de refrigerante, três tipos e três tamanhos.

Os sabores dos refrigerantes podem ser: cola, limão, laranja e menta.

Os tipos de cola podem ser: normal, sem açúcar, sem cafeína.

Os tamanhos podem ser: pequeno, médio e grande.

A mãe de Natalia não especificou que tipo de refrigerante ela queria. De quantas maneiras Natalia pode comprar a bebida?

Solução

M = Número do tamanho e tipo que você pode selecionar ao escolher a cola.

N = Número de tamanho e tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante de limão.

W = Tamanho e número do tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante de laranja.

Y = Número do tamanho e tipo que você pode selecionar ao escolher seu refrigerante de menta.

Realizamos o princípio do multiplicador:

M = 3 × 3 = 9 maneiras

N = 3 × 3 = 9 maneiras

W = 3 × 3 = 9 maneiras

Y = 3 × 3 = 9 maneiras

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 maneiras de selecionar o refrigerante.

Exercício 2

Um clube esportivo anuncia oficinas de acesso gratuito para as crianças aprenderem a patinar. São 20 crianças matriculadas, então decidem dividi-las em dois grupos de dez pessoas para que os instrutores possam ministrar as aulas com mais comodidade.

Por sua vez, eles decidem desenhar em qual grupo cada criança vai cair. Em quantos grupos diferentes uma criança pode entrar?

Solução

Nesse caso, a forma de encontrar uma resposta é através da técnica de combinação, cuja fórmula foi: nCr = n! / (N-r)! R!

n = 20 (número de filhos)

r = 10 (tamanho do grupo)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 grupos.

Referências

Jeffrey, R.C.,Probabilidade e a arte de julgar, Cambridge University Press. (1992).
William Feller, "Uma introdução a teoria da probabilidade e as suas aplicações", (Vol 1), 3ª Ed, (1968), Wiley
Finetti, Bruno de (1970). "Fundamentos lógicos e medição de probabilidade subjetiva". Acta Psychologica.
Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introdução à Estatística Matemática (6ª ed.). Upper Saddle River: Pearson.
Franklin, J. (2001)A ciência da conjectura: evidências e probabilidade antes de Pascal,Johns Hopkins University Press.