Vetores livres: propriedades, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o vetores livres São aquelas que se especificam plenamente por sua magnitude, sua direção e seu significado, sem que seja necessário indicar um ponto de aplicação ou uma origem particular.

Uma vez que vetores infinitos podem ser desenhados dessa forma, um vetor livre não é uma entidade única, mas um conjunto de vetores paralelos e idênticos que são independentes de onde estão.

Digamos que temos vários vetores de magnitude 3 direcionados verticalmente para cima, ou de magnitude 5 e inclinados para a direita, como na Figura 1.

Nenhum desses vetores é especificamente aplicado em qualquer ponto. Então, qualquer um dos vetores azul ou verde é representativo de seu respectivo grupo, uma vez que suas características -módulo, direção e sentido- não mudam em nada quando são transferidos para outro lugar no plano.

Um vetor livre geralmente é indicado no texto impresso por uma letra em negrito e minúscula, por exemplo v. Ou com letras minúsculas e uma seta no topo se for um texto manuscrito.

Exemplos

A vantagem dos vetores livres é que podem ser movidos no plano ou no espaço e mantêm suas propriedades, já que qualquer representante do conjunto é igualmente válido.

É por isso que na física e na mecânica são usados com frequência. Por exemplo, para indicar a velocidade linear de um sólido em movimento, não é necessário escolher um ponto específico no objeto. Portanto, o vetor velocidade se comporta como um vetor livre.

Outro exemplo de vetor livre é o par de forças. UMA par Consiste em duas forças de igual magnitude e direção, mas em direções opostas, aplicadas em diferentes pontos de um sólido. O efeito de um par não é transladar o objeto, mas causar uma rotação graças aomomento produzido.

A Figura 2 mostra algumas forças aplicadas a um volante. Através de forças F₁ Y F₂, é criado o torque que gira o volante em torno de seu centro e no sentido horário.

Você pode fazer algumas alterações no torque e ainda obter o mesmo efeito de rotação, por exemplo, aumentando a força, mas diminuindo a distância entre eles. Ou mantenha a força e a distância, mas aplique o torque em outro par de pontos do volante, ou seja, gire o torque em torno do centro.

O momento do par de forças ou simplesmente par, é um vetor cujo módulo é Fd e é direcionado perpendicularmente ao plano do volante. No exemplo mostrado por convenção, a rotação no sentido horário tem uma direção negativa.

Propriedades e características

Ao contrário do vetor livre v, os vetores AB Y CD eles são fixos (ver figura 3), pois têm um ponto de partida e um ponto de chegada especificados. Mas ser tolerante com os outros e, por sua vez, com o vetor v, são representativos do vetor livre v.

As principais propriedades dos vetores livres são as seguintes:

-Qualquer vetor AB (ver figura 2) é, como disse, representativo do vetor livre v.

-O módulo, a direção e o sentido são os mesmos em qualquer representante do vetor livre. Na Figura 2, os vetores AB Y CD representam o vetor livre v e eles são orientados para a equipe.

- Dado um ponto P do espaço, é sempre possível encontrar um representante do vetor livre v cuja origem está em P e o referido representante é único. Esta é a propriedade mais importante dos vetores livres e a que os torna tão versáteis.

-Um vetor livre nulo é denotado como 0 y é o conjunto de todos os vetores sem magnitude, direção e sentido.

-Se o vetor AB representa vetor livre v, então o vetor BA representa o vetor livre -v.

-A notação será usada V³ para designar o conjunto de todos os vetores livres do espaço e V² para designar todos os vetores livres no plano.

Exercícios resolvidos

Com vetores livres, as seguintes operações podem ser realizadas:

-Soma

-Subtração

-Multiplicação de escalar por um vetor

-Produto escalar entre dois vetores.

-Cruz produto entre dois vetores

- Combinação linear de vetores

E mais.

-Exercício 1

Um aluno tenta nadar de um ponto na margem de um rio para outro que está diretamente oposto. Para isso, nada diretamente a uma velocidade de 6 km / h, no sentido perpendicular, porém a corrente tem uma velocidade de 4 km / h que a desvia.

Calcule a velocidade resultante do nadador e o quanto ele é desviado pela corrente.

Solução

A velocidade resultante do nadador é a soma vetorial de sua velocidade (em relação ao rio, desenhada verticalmente para cima) e a velocidade do rio (desenhada da esquerda para a direita), que é realizada conforme indicado na figura abaixo:

A magnitude da velocidade resultante corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo mostrado, portanto:

v = (6² + 4²) ^½ km / h = 7,2 km / h

A direção pode ser calculada pelo ângulo em relação à perpendicular à costa:

α = arctg (4/6) = 33,7º ou 56,3º em relação à costa.

Exercício 2

Encontre o momento do par de forças mostrado na figura:

Solução

O momento é calculado por:

M = r x F

As unidades do momento são lb-f.ft. Como o casal está no plano da tela, o momento é direcionado perpendicularmente a ele, seja para fora ou para dentro.

Como o torque do exemplo tende a girar o objeto sobre o qual é aplicado (o que não é mostrado na figura) no sentido horário, esse momento é considerado apontando para a tela e com sinal negativo.

A magnitude do momento é M = F.d. em a, onde a é o ângulo entre a força e o vetor r. Você deve escolher um ponto em relação ao qual calcular o momento, que é um vetor livre. A origem do sistema de referência é escolhida, portanto r vai de 0 ao ponto de aplicação de cada força.

M₁ = M₂ = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. pé

O momento líquido é a soma de M₁ e M₂: -17329,5 lb-f. pé.

Referências

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Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
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Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático. 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
Calculadora de adição de vetor. Recuperado de: 1728.org
Vetores. Recuperado de: en.wikibooks.org