Funções transcendentes: tipos, definição, propriedades, exemplos - Ciência - 2023

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Asfunções transcendentes Elementares são exponenciais, logarítmicos, trigonométricas, funções trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas. Ou seja, são aqueles que não podem ser expressos por meio de um polinômio, um quociente de polinômios ou raízes de polinômios.

As funções transcendentes não elementares também são conhecidas como funções especiais e entre elas pode ser nomeada a função de erro. As funções algébricas (polinômios, quocientes de polinômios e raízes de polinômios) junto com o funções transcendentes elementais constituem o que em matemática é conhecido como funções elementares.

Funções transcendentes também são consideradas aquelas que resultam de operações entre funções transcendentes ou entre funções transcendentes e algébricas. Essas operações são: soma e diferença de funções, produto e quociente de funções, bem como a composição de duas ou mais funções.

Definição e propriedades

Função exponencial

É uma função real de variável independente real da forma:

f (x) = a ^ x = a^x

Onde para é um número real positivo (a> 0) fixo chamado de base. O circunflexo ou sobrescrito são usados para denotar a operação de potencialização.

Digamos a = 2 então a função se parece com isto:

f (x) = 2 ^ x = 2^x

Que serão avaliados por vários valores da variável independente x:

Abaixo está um gráfico onde a função exponencial é representada por vários valores da base, incluindo a base e (Número Neper e ≃ 2,72). A base e é tão importante que, em geral, quando falamos sobre uma função exponencial, pensamos e ^ x, que também é denotado exp (x).

Propriedades da função exponencial

Pela figura 1 pode-se ver que o domínio das funções exponenciais são os números reais (Dom f = R) e o intervalo ou caminho são os reais positivos (Ran f = R⁺).

Por outro lado, independentemente do valor da base a, todas as funções exponenciais passam pelo ponto (0, 1) e pelo ponto (1, a).

Quando a base a> 1, então a função está aumentando e quando 0 <a <1 a função está diminuindo.

As curvas de y = a ^ x e de y = (1 / a) ^ x são simétricos em relação ao eixo Y.

Exceto no caso a = 1, a função exponencial é injetiva, ou seja, a cada valor da imagem corresponde um e apenas um valor inicial.

Função logarítmica

É uma função real de uma variável independente real baseada na definição do logaritmo de um número. O logaritmo para basear para de um número x, É o número Y ao qual a base deve ser elevada para obter o argumento x:

registro_para(x) = y ⇔ a ^ y = x

Ou seja, o função logaritmo na base para é a função inversa da função exponencial na base para.

Por exemplo:

registro₂1 = 0, uma vez que 2 ^ 0 = 1

Outro caso, log₂4 = 2, porque 2 ^ 2 = 4

O logaritmo da raiz de 2 é log₂√2 = ½, porque 2 ^ ½ = √2

registro₂ ¼ = -2, visto que 2 ^ (- 2) = ¼

Abaixo está um gráfico da função logaritmo em várias bases.

Propriedades da função logaritmo

O domínio da função logaritmo y (x) = logpara(x) são os números reais positivos R+. O intervalo ou intervalo são os números reais R.

Independentemente da base, a função logaritmo sempre passa pelo ponto (1,0) e o ponto (a, 1) pertence ao gráfico dessa função.

No caso em que a base a é maior que a unidade (a> 1), a função logaritmo está aumentando. Mas se (0 <a <1) então é uma função decrescente.

Funções Seno, Cosseno e Tangente

A função seno atribui um número real y a cada valor de x, onde x representa a medida de um ângulo em radianos. Para obter o valor do Sen (x) de um ângulo, o ângulo é representado no círculo unitário e a projeção desse ângulo no eixo vertical é o seno correspondente a esse ângulo.

O círculo trigonométrico e o seno para vários valores angulares X1, X2, X3 e X4 são mostrados abaixo (na Figura 3).

Definido desta forma, o valor máximo que a função Sen (x) pode ter é 1, o que ocorre quando x = π / 2 + 2π n, onde n é um inteiro (0, ± 1, ± 2,). O valor mínimo que a função Sen (x) pode assumir ocorre quando x = 3π / 2 + 2π n.

A função cosseno y = Cos (x) é definida de forma semelhante, mas a projeção das posições angulares P1, P2, etc. é realizada no eixo horizontal do círculo trigonométrico.

Por outro lado, a função y = Tan (x) é o quociente entre a função seno e a função cosseno.

Abaixo está um gráfico das funções transcendentes Sen (x), Cos (x) e Tan (x)

Derivados e integrais

Derivada da função exponencial

A derivada Y ' da função exponencial y = a ^ x é a função a ^ x multiplicado pelo logaritmo natural de base a:

y ’= (a ^ x)’ = a ^ x ln a

No caso particular da base e, a derivada da função exponencial é a própria função exponencial.

Integral da função exponencial

A integral indefinida de a ^ x é a própria função dividida pelo logaritmo natural da base.

No caso particular da base e, a integral da função exponencial é a própria função exponencial.

Tabela de derivadas e integrais de funções transcendentes

Abaixo está uma tabela de resumo das principais funções transcendentes, suas derivadas e integrais indefinidas (antiderivadas):

Exemplos

Exemplo 1

Encontre a função resultante da composição da função f (x) = x ^ 3 com a função g (x) = cos (x):

(f ou g) (x) = f (g (x)) = cos³(x)

Sua derivada e sua integral indefinida são:

Exemplo 2

Encontre a composição da função g com a função f, onde g e f são as funções definidas no exemplo anterior:

(g ou f) (x) = g (f (x)) = cos (x³)

Deve-se notar que a composição de funções não é uma operação comutativa.

A derivada e a integral indefinida para esta função são respectivamente:

A integral foi deixada indicada porque não é possível escrever o resultado como uma combinação de funções elementares exatamente.

Referências

Cálculo de uma única variável. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 de novembro 2008
O Teorema da Função Implícita: História, Teoria e Aplicações. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 de novembro. 2012
Análise multivariável. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 de dezembro. 2010
Dinâmica de sistemas: modelagem, simulação e controle de sistemas mecatrônicos. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 de março 2012
Cálculo: Matemática e Modelagem. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1º de janeiro 1999
wikipedia. Função transcendente. Recuperado de: es.wikipedia.com