Produto cruzado: propriedades, aplicações e exercícios - Ciência - 2023

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o produto vetorial ou produto vetorial é uma forma de multiplicar dois ou mais vetores. Existem três maneiras de multiplicar vetores, mas nenhuma delas é multiplicação no sentido usual da palavra. Uma dessas formas é conhecida como produto vetorial, que resulta em um terceiro vetor.

O produto vetorial, também chamado de produto vetorial ou produto externo, possui diferentes propriedades algébricas e geométricas. Essas propriedades são muito úteis, especialmente em termos de estudo da física.

Definição

Uma definição formal do produto vetorial é a seguinte: se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) são vetores, o produto vetorial de A e B, que denotaremos como AxB, é:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Devido à notação AxB, é lido como "A cruz B".

Um exemplo de como usar o produto externo é que se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4) são vetores, então, usando a definição de um produto vetorial, temos:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Outra forma de expressar o produto do vetor é dada pela notação dos determinantes.

O cálculo de um determinante de segunda ordem é dado por:

Portanto, a fórmula para o produto vetorial dada na definição pode ser reescrita da seguinte forma:

Isso geralmente é simplificado em um determinante de terceira ordem da seguinte maneira:

Onde i, j, k representam os vetores que formam a base de R³.

Usando esta forma de expressar o produto vetorial, temos que o exemplo anterior pode ser reescrito como:

Propriedades

Algumas propriedades que o produto vetorial possui são as seguintes:

Propriedade 1

Se A for qualquer vetor em R³, temos que:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Essas propriedades são fáceis de verificar usando apenas a definição. Se A = (a1, a2, a3) temos:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Se i, j, k representam a base unitária de R³, podemos escrevê-los da seguinte forma:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Portanto, temos que as seguintes propriedades são verdadeiras:

Como regra mnemônica, para lembrar essas propriedades, o seguinte círculo é frequentemente usado:

Devemos notar que qualquer vetor com ele mesmo dá o vetor 0, e o resto dos produtos podem ser obtidos com a seguinte regra:

O produto vetorial de dois vetores consecutivos no sentido horário fornece o próximo vetor; e quando o sentido anti-horário é considerado, o resultado é o vetor seguinte com um sinal negativo.

Graças a essas propriedades, podemos ver que o produto vetorial não é comutativo; por exemplo, observe que i x j ≠ j x i. A propriedade a seguir nos diz como AxB e BxA estão relacionados em geral.

Propriedade 2

Se A e B são vetores de R³, temos que:

AxB = - (BxA).

Demonstração

Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), por definição de produto externo temos:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Também podemos ver que este produto não é associativo com o seguinte exemplo:

ix (ixj) = ixk = - j mas (ixi) xj = 0xj = 0

A partir disso, podemos ver que:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Propriedade 3

Se A, B, C são vetores de R³ e r é um número real, o seguinte é verdadeiro:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Graças a essas propriedades podemos calcular o produto vetorial usando as leis da álgebra, desde que a ordem seja respeitada. Por exemplo:

Se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4), podemos reescrevê-los com base na base canônica de R³.

Assim, A = i + 2j + 3k e B = 3i - 2j + 4k. Em seguida, aplicando as propriedades anteriores:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, – 8).

Propriedade 4 (produto de ponto triplo)

Como mencionamos no início, existem outras maneiras de multiplicar vetores além do produto vetorial. Uma dessas formas é o produto escalar ou produto interno, que é denotado como A ∙ B e cuja definição é:

Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), então A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

A propriedade que relaciona os dois produtos é conhecida como produto escalar triplo.

Se A, B e C são vetores de R³, então A ∙ BxC = AxB ∙ C

Como exemplo, vamos ver que, dado A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, - 4), esta propriedade é satisfeita.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Por outro lado:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Outro produto triplo é o Ax (BxC), conhecido como produto de vetor triplo.

Propriedade 5 (produto de vetor triplo)

Se A, B e C são vetores de R³, tão:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Como exemplo, vamos ver que, dado A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, - 4), esta propriedade é satisfeita.

Pelo exemplo anterior, sabemos que BxC = (- 18, - 22, 17). Vamos calcular Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Por outro lado, temos que:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Portanto, temos que:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Propriedade 6

É uma das propriedades geométricas dos vetores. Se A e B são dois vetores em R³ e ϴ é o ângulo formado entre eles, então:

|| AxB || = || A |||| B || sin (ϴ), onde || ∙ || denota o módulo ou magnitude de um vetor.

A interpretação geométrica desta propriedade é a seguinte:

Seja A = PR e B = PQ. Assim, o ângulo formado pelos vetores A e B é o ângulo P do triângulo RQP, conforme mostrado na figura a seguir.

Portanto, a área do paralelogramo que tem PR e PQ como lados adjacentes é || A |||| B || sin (ϴ), já que podemos tomar como base || A || e sua altura é dada por || B || sin (ϴ).

Com isso, podemos concluir que || AxB || é a área do referido paralelogramo.

Exemplo

Dados os seguintes vértices de um quadrilátero P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) e S (5,7, -3), mostram que o referido quadrilátero é um paralelogramo e encontre sua área.

Para isso, primeiro determinamos os vetores que determinam a direção dos lados do quadrilátero. Isto é:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Como podemos ver, A e C têm o mesmo vetor diretor, então temos que ambos são paralelos; o mesmo acontece com B e D. Portanto, concluímos que PQRS é um paralelogramo.

Para ter a área deste paralelogramo, calculamos BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Portanto, o quadrado da área será:

|| BxA ||² = (– 6)² + (– 2)² + (– 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Pode-se concluir que a área do paralelogramo será a raiz quadrada de 89.

Propriedade 7

Dois vetores A e B são paralelos em R³ se e somente se AxB = 0

Demonstração

É claro que se A ou B são o vetor nulo, verifica-se que AxB = 0. Como o vetor zero é paralelo a qualquer outro vetor, a propriedade é válida.

Se nenhum dos dois vetores for o vetor zero, temos que suas magnitudes são diferentes de zero; ou seja, ambos || A || ≠ 0 como || B || ≠ 0, então teremos || AxB || = 0 se e somente se sin (ϴ) = 0, e isso acontece se e somente se ϴ = π ou ϴ = 0.

Portanto, podemos concluir AxB = 0 se e somente se ϴ = π ou ϴ = 0, o que só acontece quando os dois vetores são paralelos entre si.

Propriedade 8

Se A e B são dois vetores em R³, então AxB é perpendicular a A e B.

Demonstração

Para esta prova, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se A ∙ B for igual a zero. Além disso, sabemos que:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, mas AxA é igual a 0. Portanto, temos:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Com isso, podemos concluir que A e AxB são perpendiculares entre si. Analogamente, temos que:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Como BxB = 0, temos:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Portanto, AxB e B são perpendiculares entre si e com isso a propriedade é demonstrada. Isso é muito útil para nós, pois nos permitem determinar a equação de um plano.

Exemplo 1

Obtenha uma equação do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) e R (2, 1, 3).

Seja A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) e B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Então, A = - i + 3j + k e B = i - 2j + k. Para encontrar o plano formado por esses três pontos, basta encontrar um vetor normal ao plano, que é AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Com este vetor, e tomando o ponto P (1, 3, 2), podemos determinar a equação do plano da seguinte maneira:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Assim, temos que a equação do plano é 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exemplo 2

Encontre a equação do plano que contém o ponto P (4, 0, - 2) e que é perpendicular a cada um dos planos x - y + z = 0 e 2x + y - 4z - 5 = 0.

Sabendo que um vetor normal para um plano ax + by + cz + d = 0 é (a, b, c), temos que (1, -1,1) é um vetor normal de x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) é um vetor normal de 2x + y - 4z - 5 = 0.

Portanto, um vetor normal ao plano procurado deve ser perpendicular a (1, -1,1) e a (2, 1, - 4). Este vetor é:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Então, temos que o plano buscado é aquele que contém o ponto P (4,0, - 2) e tem o vetor (3,6,3) como vetor normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Formulários

Cálculo do volume de um paralelepípedo

Uma aplicação que possui o produto escalar triplo é poder calcular o volume de um paralelepípedo cujas arestas são dadas pelos vetores A, B e C, conforme mostrado na figura:

Podemos deduzir esta aplicação da seguinte forma: como dissemos antes, o vetor AxB é um vetor normal ao plano de A e B. Também temos que o vetor - (AxB) é outro vetor normal a esse plano.

Escolhemos o vetor normal que forma o menor ângulo com o vetor C; Sem perda de generalidade, seja AxB o vetor cujo ângulo com C é o menor.

Temos que tanto AxB quanto C têm o mesmo ponto de partida. Além disso, sabemos que a área do paralelogramo que forma a base do paralelepípedo é || AxB ||. Por isso, se a altura do paralelepípedo é dada por h, temos que seu volume será:

V = || AxB || h.

Por outro lado, vamos considerar o produto escalar entre AxB e C, que pode ser descrito da seguinte maneira:

No entanto, por propriedades trigonométricas, temos que h = || C || cos (ϴ), então temos:

Desta forma, temos que:

Em termos gerais, temos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo AxB ∙ C.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Dados os pontos P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) e S = (2, 6, 9), esses pontos formam um paralelepípedo cujas bordas eles são PQ, PR e PS. Determine o volume do referido paralelepípedo.

Solução

Se pegarmos:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Usando a propriedade do produto escalar triplo, temos:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Portanto, temos que o volume do referido paralelepípedo é de 52.

Exercício 2

Determine o volume de um paralelepípedo cujas bordas são dadas por A = PQ, B = PR e C = PS, onde os pontos P, Q, R e S são (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) e (2, 2, 5), respectivamente.

Solução

Primeiro temos que A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Calculamos AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Em seguida, calculamos AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Assim, concluímos que o volume do referido paralelepípedo é de 1 unidade cúbica.

Referências

Leithold, L. (1992). O cálculo com geometria analítica. HARLA, S.A.
Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. México: Continental.
Saenz, J. (s.f.). Cálculo vetorial 1ed. Hipotenusa.
Spiegel, M. R. (2011). Análise vetorial 2ed. Mc Graw Hill.
Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Cálculo de várias variáveis 4ed. Mc Graw Hill.