Eneagon: propriedades, como fazer um eneagon, exemplos - Ciência - 2023

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UMA eneagon é um polígono com nove lados e nove vértices, que podem ou não ser regulares. O nome eneágono vem do grego e é composto pelas palavras gregas enea (nove e gonon (ângulo).

Um nome alternativo para o polígono de nove lados é nonagon, que vem da palavra latinanonus (nove e gonon (vértice). Por outro lado, se os lados ou ângulos do enegon forem desiguais entre si, então temos um enegon irregular. Se, por outro lado, os nove lados e os nove ângulos do enegon são iguais, então é um enegon regular.

Propriedades do eneagon

Para um polígono com n lados, a soma de seus ângulos internos é:

(n - 2) * 180º

No enegon seria n = 9, então a soma de seus ângulos internos é:


Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Em qualquer polígono, o número de diagonais é:

D = n (n - 3) / 2 e no caso do enegon, já que n = 9, então temos que D = 27.

Enegon regular

No eneagono ou nonagon regular, há nove (9) ângulos internos de igual medida, portanto, cada ângulo mede um nono da soma total dos ângulos internos.

A medida dos ângulos internos de um enegon é então 1260º / 9 = 140º.

Para derivar a fórmula para a área de um enegon regular com lado d É conveniente fazer algumas construções auxiliares, como as mostradas na figura 2.

O centro está localizado OU traçando as bissetoras de dois lados adjacentes. Centro OU equidistante dos vértices.

Um raio de comprimento r é o segmento que sai do centro OU a um vértice do enegon. Os raios são mostrados na figura 2. OD Y OE de comprimento r.


O apótema é o segmento que vai do centro ao ponto médio de um lado do enegon. Por exemplo OJ é um apótema cujo comprimento é para.

Área de um enegon conhecido ao lado e ao apótema

Nós consideramos o triângulo TRIBUTO da figura 2. A área deste triângulo é o produto de sua base DE para a altura OJ dividido por 2:

Área TRIBUTO = (DE * JO) / 2 = (d * a) / 2

Como existem 9 triângulos de igual área no enegon, conclui-se que a área do mesmo é:

Área Enegon = (9/2) (d * a)

Área de um enegon conhecido ao lado

Se apenas o comprimento d dos lados do enegon for conhecido, então é necessário encontrar o comprimento do apótema para aplicar a fórmula da seção anterior.

Nós consideramos o triângulo OLHO retângulo em J (veja a figura 2). Se a razão trigonométrica tangente for aplicada, obtemos:


tão(∡OEJ) = OJ / Ex.

O ângulo ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, a ser EO bissetriz do ângulo interno do enegon.

Por outro lado, OJ é o apotema de comprimento para.

Então como J é o ponto médio de ED segue que EJ = d / 2.

Substituindo os valores anteriores na relação tangente, temos:

tan (70º) = a / (d / 2).

Agora esclarecemos a duração do apotema:

a = (d / 2) tan (70º).

O resultado anterior é substituído na fórmula da área para obter:

Área Enegon = (9/2) (d * a) = (9/2)( d * (d / 2) bronzeado (70º))

Por fim, existe a fórmula que permite obter a área do enegon regular se apenas o comprimento for conhecido d de seus lados:

Área Enegon = (9/4) d2 tan (70º) = 6,1818 d2

Perímetro de enegon regular conhecido seu lado

O perímetro de um polígono é a soma de seus lados. No caso do enegon, como cada um dos lados mede um comprimento d, seu perímetro será a soma de nove vezes d, quer dizer:

Perímetro = 9 d

Perímetro do enegon conhecido seu raio

Considerando o triângulo OLHO retângulo em J (ver figura 2), a razão trigonométrica de cosseno é aplicada:

cos (∡OEJ) = Ex / OE = (d / 2) / r

De onde é obtido:

d = 2r cos (70º)

Substituindo este resultado, a fórmula para o perímetro é obtida em função do raio do enegon:

Perímetro = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Como fazer um eneagon regular

1- Para construir um eneagono regular, com régua e compasso, comece pela circunferência c que circunscreve o enegon. (veja a figura 3)

2- São desenhadas duas linhas perpendiculares que passam pelo centro O do círculo. Em seguida, as interseções A e B de uma das linhas são marcadas com a circunferência.

3- Com a bússola, centralizando na interceptação B e abrindo igual ao raio BO, é desenhado um arco que intercepta a circunferência original em um ponto C.

4- O passo anterior é repetido, mas fazendo um centro em A e raio AO, um arco é desenhado que intercepta a circunferência c no ponto E.

5- Com abertura AC e centro em A, desenha-se um arco de circunferência. Da mesma forma, com a abertura de BE e o centro de B, outro arco é desenhado. A interseção desses dois arcos é marcada como ponto G.

6- Fazendo o centro em G e abrindo GA, desenha-se um arco que intercepta o eixo secundário (neste caso horizontal) no ponto H. A intersecção do eixo secundário com a circunferência original c é marcada como I.

7- O comprimento do segmento IH é igual ao comprimento d da lateral do enegon.

8- Com a abertura da bússola IH = d, os arcos de centro A raio AJ, centro J raio AK, centro K raio KL e centro L raio LP são desenhados sucessivamente.

9- Da mesma forma, partindo de A e do lado direito, traçam-se arcos de raio IH = d que marcam os pontos M, N, C e Q na circunferência original c.

10- Por fim são sorteados os segmentos AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ e finalmente PB.

Ressalta-se que o método construtivo não é totalmente exato, pois pode-se verificar que o último lado PB é 0,7% mais comprido que os outros lados. Até o momento, não há método conhecido de construção com régua e compasso que seja 100% preciso.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos trabalhados.

Exemplo 1

Queremos construir um enegon regular cujos lados medem 2 cm. Que raio deve ter a circunferência que o circunscreve, para que com a aplicação da construção descrita anteriormente se obtenha o resultado desejado?

Solução:

Em uma seção anterior, a fórmula que relaciona o raio r do círculo circunscrito com o lado d de um enegon regular foi deduzida:

d = 2r cos (70º)

Resolvendo para r a partir da expressão anterior, temos:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Substituindo o valor d = 2 cm na fórmula anterior, obtém-se um raio r de 2,92 cm.

Exemplo 2

Qual é a área de um enegon regular com 2 cm de lado?

Solução:

Para responder a esta pergunta, devemos nos referir à fórmula, mostrada anteriormente, que nos permite encontrar a área de um enegon conhecido pelo comprimento d de seu lado:

Área Enegon = (9/4) d2 tan (70º) = 6,1818 d2

Substituindo d por seu valor de 2 cm na fórmula anterior, obtemos:

Área Enegon = 24,72 cm

Referências

  1. C. E. A. (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. University of Medellin.
  2. Campos, F., Cerecedo, F. J. (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
  3. Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de educação de referência.
  4. Hendrik, V. (2013). Polígonos generalizados. Birkhäuser.
  5. IGER. (s.f.). Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
  6. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
  7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e Aplicações (Décima Edição). Pearson Education.
  8. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Editorial Progreso.