Teorema de Varignon: exemplos e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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Teorema de Varignon: exemplos e exercícios resolvidos - Ciência
Teorema de Varignon: exemplos e exercícios resolvidos - Ciência

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o Teorema de Varignon afirma que se os pontos médios dos lados são continuamente unidos em qualquer quadrilátero, um paralelogramo é gerado. Este teorema foi formulado por Pierre Varignon e publicado em 1731 no livro Elementos de matemática”.

A publicação do livro ocorreu anos após sua morte. Como foi Varignon quem introduziu esse teorema, o paralelogramo recebeu seu nome. O teorema é baseado na geometria euclidiana e apresenta relações geométricas dos quadriláteros.

Qual é o teorema de Varignon?

Varignon afirmou que uma figura que é definida pelos pontos médios de um quadrilátero sempre resultará em um paralelogramo, e a área do paralelogramo sempre será a metade da área do quadrilátero se for plano e convexo. Por exemplo:


Na figura você pode ver um quadrilátero com uma área X, onde os pontos médios dos lados são representados por E, F, G e H e, quando unidos, formam um paralelogramo. A área do quadrilátero será a soma das áreas dos triângulos que se formam, sendo que a metade corresponde à área do paralelogramo.

Como a área do paralelogramo é a metade da área do quadrilátero, o perímetro desse paralelogramo pode ser determinado.

Assim, o perímetro é igual à soma dos comprimentos das diagonais do quadrilátero; isso ocorre porque as medianas do quadrilátero serão as diagonais do paralelogramo.

Por outro lado, se os comprimentos das diagonais do quadrilátero forem exatamente iguais, o paralelogramo será um losango. Por exemplo:


Pela figura pode-se observar que, unindo os pontos médios dos lados do quadrilátero, é obtido um losango. Por outro lado, se as diagonais do quadrilátero são perpendiculares, o paralelogramo será um retângulo.

Além disso, o paralelogramo será um quadrado quando o quadrilátero tiver as diagonais do mesmo comprimento e também perpendiculares.

O teorema não é cumprido apenas em quadriláteros planos, ele também é implementado em geometria espacial ou em grandes dimensões; ou seja, nos quadriláteros que não são convexos. Um exemplo disso pode ser um octaedro, onde os pontos médios são os centróides de cada face e formam um paralelepípedo.

Desta forma, unindo os pontos médios de diferentes figuras, podem ser obtidos paralelogramos. Uma maneira fácil de verificar se isso é realmente verdade é que os lados opostos devem ser paralelos quando estendidos.

Exemplos

Primeiro exemplo

Prolongamento de lados opostos para mostrar que é um paralelogramo:


Segundo exemplo

Ao juntar os pontos médios de um losango, um retângulo é obtido:

O teorema é utilizado na união de pontos localizados no meio dos lados de um quadrilátero, podendo também ser utilizado para outros tipos de pontos, como ressecção, penta-seção ou mesmo um número infinito de seções ( enésimo), para dividir os lados de qualquer quadrilátero em segmentos proporcionais.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Na figura temos um quadrilátero ABCD de área Z, onde os pontos médios dos lados deste são PQSR. Verifique se um paralelogramo Varignon é formado.

Solução

Pode-se verificar que ao unir os pontos PQSR se forma um paralelogramo de Varignon, justamente porque os pontos médios de um quadrilátero são dados no enunciado.

Para demonstrar isso, primeiro os pontos médios PQSR são unidos, de modo que pode ser visto que outro quadrilátero é formado. Para provar que se trata de um paralelogramo, basta traçar uma linha reta do ponto C ao ponto A, para que se perceba que CA é paralelo a PQ e RS.

Da mesma forma, ao estender os lados PQRS pode-se observar que PQ e RS são paralelos, como mostra a imagem a seguir:

Exercício 2

Temos um retângulo tal que os comprimentos de todos os seus lados são iguais. Ao unir os pontos médios desses lados, forma-se um losango ABCD, que é dividido por duas diagonais AC = 7cm e BD = 10cm, que coincidem com as medidas dos lados do retângulo. Determine as áreas do losango e do retângulo.

Solução

Lembrando que a área do paralelogramo resultante é a metade do quadrilátero, a área destes pode ser determinada sabendo que a medida das diagonais coincide com os lados do retângulo. Então você tem que:

AB = D

CD = d

PARAretângulo = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

PARAdiamante = A retângulo / 2

PARAdiamante = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Exercício 3

Na figura existe um quadrilátero que possui a união dos pontos EFGH, os comprimentos dos segmentos são dados. Determine se a união de EFGH é um paralelogramo.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Solução

Conforme os comprimentos dos segmentos são dados, pode-se verificar se há proporcionalidade entre os segmentos; ou seja, você pode saber se eles são paralelos, relacionando os segmentos do quadrilátero da seguinte forma:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Em seguida, a proporcionalidade é verificada, uma vez que:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Da mesma forma, ao traçar uma linha do ponto B ao ponto D, pode-se ver que EH é paralelo a BD, assim como BD é paralelo a FG. Por outro lado, EF é paralelo ao GH.

Assim, pode-se determinar que EFGH é um paralelogramo, porque os lados opostos são paralelos.

Referências

  1. Andres, T. (2010). Olimpíada matemática Tresure. Springer. Nova york.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Geometria Euclidiana plana. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Estudo de geometrias. México: Hispânico - Americano.
  4. Ramo, G. P. (1998). Soluções desconhecidas para os problemas de Fermat-Torricelli. ISBN - Obra independente.
  5. Vera, F. (1943). Elementos de geometria. Bogotá
  6. Villiers, M. (1996). Algumas aventuras na geometria euclidiana. África do Sul.