Derivadas parciais: propriedades, cálculo, exercícios - Ciência - 2023

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As derivadas parciais de uma função com várias variáveis independentes são aquelas que são obtidas tomando a derivada ordinária em uma das variáveis, enquanto as outras são mantidas ou tomadas como constantes.

A derivada parcial em uma das variáveis determina como a função varia em cada ponto dela, por unidade de mudança na variável em questão.

Por definição, a derivada parcial é calculada tomando o limite matemático do quociente entre a variação da função e a variação da variável com relação à qual ela é derivada, quando a variação nesta última tende a zero.

Suponha o caso de uma função F que depende das variáveis x e Y, isto é, para cada par (x, y) uma z:

f: (x, y) → z .

A derivada parcial da função z = f (x, y), em relação à x é definido como:

Agora, existem várias maneiras de denotar a derivada parcial de uma função, por exemplo:

A diferença com a derivada comum, em termos de notação, é que o d bypass é alterado para o símbolo ∂, conhecido como "D de Jacobi".

Propriedades de derivadas parciais

A derivada parcial de uma função de várias variáveis, em relação a uma delas, é a derivada ordinária nessa variável e considerando as restantes como fixas ou constantes. Para encontrar a derivada parcial, você pode usar as regras para a derivação de derivadas ordinárias.

Aqui estão as propriedades principais:

Continuidade

Se uma função f (x, y) tem derivadas parciais em x e Y no ponto (xo, eu) então, a função pode ser considerada contínua nesse ponto.

Regra da corrente

Uma função f (x, y) com derivadas parciais contínuas em x e Y, que por sua vez depende de um parâmetro tatravés de x = x (t) Y y = y (t), tem derivada ordinária em relação à variável t, que é calculado pela regra da cadeia:

d_t z = ∂_xz d_tx + ∂_Yz d_tY

Travar ou bloquear propriedade

A derivada parcial em relação a uma das variáveis de uma função F de duas ou mais variáveis (x, y, ...), é outra função g nessas mesmas variáveis, por exemplo:

g (x, y, ...) = ∂_Y f (x, y, ...)

Ou seja, a derivação parcial é uma operação que vai de Rⁿ para Rⁿ. Nesse sentido, é considerado um operação fechada.

Derivadas parciais sucessivas

Podem ser definidas derivadas parciais sucessivas de uma função de várias variáveis, dando origem a novas funções nas mesmas variáveis independentes.

Deixe a função f (x, y). As seguintes derivadas sucessivas podem ser definidas:

F_xx = ∂_xF ; F_yy = ∂_yyF ; F_xy = ∂_xyF Y F_{e x} = ∂_{e x}F

Os dois últimos são conhecidos como derivados mistos porque envolvem duas variáveis independentes diferentes.

Teorema de Schwarz

Deixe ser uma função f (x, y), definido de tal forma que suas derivadas parciais são funções contínuas em um subconjunto aberto de R².

Então, para cada par (x, y) que pertencem ao referido subconjunto, os derivados mistos são idênticos:

∂_xyf = ∂_{e x}F

A declaração acima é conhecida como Teorema de Schwarz.

Como são calculadas as derivadas parciais?

Derivadas parciais são calculadas de maneira semelhante às derivadas comuns de funções em uma única variável independente. Quando a derivada parcial de uma função de várias variáveis é tomada em relação a uma delas, as outras variáveis são tomadas como constantes.

Aqui estão vários exemplos:

Exemplo 1

Deixe a função ser:

f (x, y) = -3x² + 2 (e - 3)²

Você é solicitado a calcular a primeira derivada parcial em relação a x e a primeira derivada parcial em relação a Y.

Processo

Para calcular a parcial de F em relação à x, toma Y como constante:

∂_xf = ∂_x(-3x² + 2 (e - 3)² ) = ∂_x(-3x² )+ ∂_x(2 (e - 3)² ) = -3 ∂_x(x²) + 0 = -6x.

E, por sua vez, calcular a derivada em relação a Y toma x como constante:

∂_Yf = ∂_Y(-3x² + 2 (e - 3)² ) = ∂_Y(-3x² )+ ∂_Y(2 (e - 3)² ) = 0 + 2 · 2 (y - 3) = 4y - 12.

Exemplo 2

Determine as derivadas parciais de segunda ordem: ∂_xxf, ∂_yyf, ∂_{e x}F Y ∂_xyF para a mesma função F do Exemplo 1.

Processo

Neste caso, uma vez que a primeira derivada parcial em x e Y (veja o exemplo 1):

∂_xxf = ∂_x(∂_xf) = ∂_x(-6x) = -6

∂_yyf = ∂_Y(∂_Yf) = ∂_Y(4a - 12) = 4

∂_{e x}f = ∂_Y(∂_xf) = ∂_Y(-6x) = 0

∂_xyf = ∂_x(∂_Yf) = ∂_x(4a - 12) = 0

É observado que∂_{e x}f = ∂_xyF, cumprindo assim o teorema de Schwarz, uma vez que a função F e suas derivadas parciais de primeira ordem são todas funções contínuas em R².

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Deixe a função ser:

f (x, y) = -x² - Y² + 6

Encontre as funçõesg (x, y) = ∂_xF Yh (x, y) = ∂_YF.

Solução

A derivada parcial de F em relação à x, para o qual a variável Y torna-se constante:

g (x, y) = - 2x

Da mesma forma, tomamos a derivada parcial de g em relação à Y, fazendox constante, resultando para a função h:

h (x, y) = -2y

Exercício 2

Avalie para o ponto (1, 2) As funções f (x, y) Y g (x, y) do exercício 1. Interprete os resultados.

Solução

Os valores são substituídosx = 1 e y = 2 obtendo:

f (1,2) = - (1)² -(2)² + 6= -5 + 6 = 1

Este é o valor que a função f assume quando é avaliada naquele ponto.

A função f (x, y) é uma superfície bidimensional e a coordenada z = f (x, y) é a altura da função para cada par (x, y). Quando você pega o par (1,2), a altura da superfície f (x, y) isto é z = 1.

A função g (x, y) = - 2x representa um plano no espaço tridimensional cuja equação é z = -2x o bem -2x + 0 e -z = 0.

O referido plano é perpendicular ao plano xz e vá direto ao ponto (0, 0, 0). Quando avaliado em x = 1 e y = 2 tão z = -2. Observe que o valor z = g (x, y) é independente do valor atribuído à variável Y.

Por outro lado, se a superfície é interceptada f (x, y) com o avião y = c,comc constante, há uma curva no planozx: z = -x² - c² + 6.

Neste caso, a derivada de z em relação à x coincide com a derivada parcial de f (x, y) em relação à x: d_x z = ∂_x F .

Ao avaliar em par (x = 1, y = 2) a derivada parcial naquele ponto ∂_x f (1,2) é interpretado como a inclinação da linha tangente à curva z = -x² + 2 no ponto (x = 1, y = 2) e o valor da referida inclinação é -2.

Referências

Ayres, F. 2000. Calculus. 5ed. Mc Graw Hill.
Derivadas parciais de uma função em várias variáveis. Recuperado de: edificacion.upm.es.
Leithold, L. 1992. Calculus with Analytical Geometry. HARLA, S.A.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
Gorostizaga J. C. Partial Derivatives. Recuperado de: ehu.eus
Wikipedia. Derivativo parcial. Recuperado de: es.wikipedia.com.