Teorema de Moivre: provas e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o Teorema de Moivre aplica processos fundamentais de álgebra, como poderes e a extração de raízes em números complexos. O teorema foi afirmado pelo renomado matemático francês Abraham de Moivre (1730), que associou os números complexos à trigonometria.

Abraham Moivre fez essa associação por meio das expressões do seno e cosseno. Esse matemático gerou uma espécie de fórmula por meio da qual é possível elevar um número complexo z à potência n, que é um número inteiro positivo maior ou igual a 1.

Qual é o teorema de Moivre?

O teorema de Moivre afirma o seguinte:

Se tivermos um número complexo na forma polar z = r_Ɵ, onde r é o módulo do número complexo z, e o ângulo Ɵ é chamado de amplitude ou argumento de qualquer número complexo com 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular sua n-ésima potência não será necessário multiplicá-lo por ele mesmo n vezes; ou seja, não é necessário fazer o seguinte produto:

Zⁿ = z_* z _* z_{*. . .*}z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *. . .*}r_Ɵ n vezes.

Pelo contrário, o teorema diz que, ao escrever z em sua forma trigonométrica, para calcular a enésima potência procedemos da seguinte forma:

Se z = r (cos Ɵ + i _*sin Ɵ) então zⁿ = rⁿ(cos n * Ɵ + i _*sen n * Ɵ).

Por exemplo, se n = 2, então z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Se n = 3, então z³ = z²_* z. Mais longe:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

Desta forma, as razões trigonométricas do seno e cosseno podem ser obtidas para múltiplos de um ângulo, desde que as razões trigonométricas do ângulo sejam conhecidas.

Da mesma forma, pode ser usado para encontrar expressões mais precisas e menos confusas para a enésima raiz de um número complexo z, de modo que zⁿ = 1.

Para provar o teorema de Moivre, o princípio da indução matemática é usado: se um inteiro “a” tem uma propriedade “P”, e se para qualquer inteiro “n” maior que “a” que tem a propriedade “P”, Conclui-se que n + 1 também possui a propriedade "P", então todos os inteiros maiores ou iguais a "a" possuem a propriedade "P".

Demonstração

Assim, a prova do teorema é feita com as seguintes etapas:

Base indutiva

É primeiro verificado se há n = 1.

Como z¹ = (r (cos Ɵ + i _*sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _*sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _*sen (1_* Ɵ)], segue-se que para n = 1 o teorema é cumprido.

Hipótese indutiva

A fórmula é considerada verdadeira para algum número inteiro positivo, ou seja, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _*sen Ɵ))^k = r^k(cos k Ɵ + i _*sin k Ɵ).

Verificação

Está provado que é verdade para n = k + 1.

Como z^{k + 1}= z^k_*z, então z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _*sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _*sen kƟ) _*r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Em seguida, as expressões são multiplicadas:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(Eu_*senƟ) + (i _*sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _*sen kƟ)_*(Eu_*senƟ)).

Por um momento, o fator r é ignorado^{k + 1}, e o fator comum i é considerado:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sin kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Como eu² = -1, nós o substituímos na expressão e obtemos:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sin kƟ)_*(cosƟ) - (sin kƟ)_*(senƟ).

Agora a parte real e a parte imaginária estão ordenadas:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sin kƟ)_*(sinƟ) + i [(sin kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Para simplificar a expressão, as identidades trigonométricas da soma dos ângulos são aplicadas para o cosseno e o seno, que são:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Nesse caso, as variáveis são os ângulos Ɵ e kƟ. Aplicando as identidades trigonométricas, temos:

cos kƟ _*cosƟ - sen kƟ _*sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _*cosƟ + cos kƟ _*sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Desta forma, a expressão é:

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

Assim, pode-se mostrar que o resultado é verdadeiro para n = k + 1. Pelo princípio da indução matemática, conclui-se que o resultado é verdadeiro para todos os inteiros positivos; ou seja, n ≥ 1.

Inteiro negativo

O teorema de Moivre também é aplicado quando n ≤ 0. Consideremos um inteiro negativo “n”; então "n" pode ser escrito como "-m", ou seja, n = -m, onde "m" é um número inteiro positivo. Portanto:

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ= (cos Ɵ + i _*sen Ɵ)^-m

Para obter o expoente "m" de forma positiva, a expressão é escrita inversamente:

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ= 1 ÷ (cos Ɵ + i _*sen Ɵ)^m

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ= 1 ÷ (cos mƟ + i _*sen mƟ)

Agora, é usado que se z = a + b * i é um número complexo, então 1 ÷ z = a-b * i. Portanto:

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _*sen (mƟ).

Usando que cos (x) = cos (-x) e que -sen (x) = sin (-x), temos:

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ= [cos (mƟ) - i _*sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ= cos (- mƟ) + i _*sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _*sen Ɵ)ⁿ= cos (nƟ) - i _*sen (nƟ).

Assim, pode-se dizer que o teorema se aplica a todos os valores inteiros de "n".

Exercícios resolvidos

Cálculo de potências positivas

Uma das operações com números complexos em sua forma polar é a multiplicação por dois deles; nesse caso, os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados.

Se tivermos dois números complexos z₁ e Z₂ e você deseja calcular (z₁ * z₂)²e proceda da seguinte forma:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _*sen Ɵ₁)] * [r₂(cos Ɵ₂ + i _*sen Ɵ₂)]

A propriedade distributiva se aplica:

z₁z₂= r₁ r₂(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_1*Eu _*sen Ɵ₂+ i _*sen Ɵ_1*cos Ɵ₂+ i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂).

Eles são agrupados, tomando o termo "i" como um fator comum das expressões:

z₁z₂= r₁ r₂[cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1*sen Ɵ₂+ sen Ɵ_1*cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Como eu² = -1, é substituído na expressão:

z₁z₂= r₁ r₂[cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1*sen Ɵ₂+ sen Ɵ_1*cos Ɵ₂) - pecado Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Os termos reais são reagrupados com o real e o imaginário com o imaginário:

z₁z₂= r₁ r₂[(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_1*sen Ɵ₂+ sen Ɵ_1*cos Ɵ₂)]

Finalmente, as propriedades trigonométricas se aplicam:

z₁z₂= r₁ r₂[cos (Ɵ₁+ Ɵ₂) + i sin (Ɵ₁+ Ɵ₂)].

Em conclusão:

(z₁ * z₂)²= (r₁ r₂[cos (Ɵ₁+ Ɵ₂) + i sin (Ɵ₁+ Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁+ Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁+ Ɵ₂)].

Exercício 1

Escreva o número complexo na forma polar se z = - 2 -2i. Então, usando o teorema de Moivre, calcule z⁴.

Solução

O número complexo z = -2 -2i é expresso na forma retangular z = a + bi, onde:

a = -2.

b = -2.

Sabendo que a forma polar é z = r (cos Ɵ + i _*sen Ɵ), precisamos determinar o valor do módulo “r” e o valor do argumento “Ɵ”. Dado que r = √ (a² + b²), os valores dados são substituídos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Então, para determinar o valor de “Ɵ”, é aplicada a forma retangular deste, que é dada pela fórmula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Como tan (Ɵ) = 1 e temos a <0, então temos:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Como o valor de "r" e "Ɵ" já foi obtido, o número complexo z = -2 -2i pode ser expresso na forma polar, substituindo os valores:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _*pecado (5Π / 4)).

Agora usamos o teorema de Moivre para calcular z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _*sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _*pecado (5Π)).

Exercício 2

Encontre o produto dos números complexos expressando-o na forma polar:

z1 = 4 (cos 50^ou + i_* sen 50^ou)

z2= 7 (cos 100^ou + i_* sen 100^ou).

Em seguida, calcule (z1 * z2) ².

Solução

Primeiro, o produto dos números dados é formado:

z₁ z₂= [4 (cos 50^ou + i_* sen 50^ou)] * [7 (cos 100^ou + i_* sen 100^ou)]

Em seguida, os módulos são multiplicados juntos e os argumentos são adicionados:

z₁ z₂= (4 _* 7)_* [cos (50^ou + 100^ou) + i_* sen (50^ou + 100^ou)]

A expressão é simplificada:

z₁ z₂= 28 _* (cos 150^ou + (i_* sen 150^ou).

Finalmente, o teorema de Moivre se aplica:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^ou + (i_* sen 150^ou)) ² = 784 (cos 300^ou + (i_* sen 300^ou)).

Cálculo de potências negativas

Para dividir dois números complexos z₁ e Z₂em sua forma polar, o módulo é dividido e os argumentos são subtraídos. Assim, o quociente é z₁ ÷ z₂ e é expresso da seguinte forma:

z₁ ÷ z₂= r1 / r2 ([cos (Ɵ₁– Ɵ₂) + i sin (Ɵ₁– Ɵ₂)]).

Como no caso anterior, se quisermos calcular (z1 ÷ z2) ³, a divisão é realizada primeiro e depois o teorema de Moivre é usado.

Exercício 3

Dados:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calcule (z1 ÷ z2) ³.

Solução

Seguindo as etapas descritas acima, pode-se concluir que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referências

Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
Croucher, M. (s.f.). Teorema de De Moivre para identidades trigonométricas. Projeto de Demonstrações Wolfram.
Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
Max Peters, W. L. (1972). Álgebra e trigonometria.
Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
Stanley, G. (s.f.). Álgebra Linear. Graw-Hill.
, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.