Regra de Simpson: fórmula, prova, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o regra dos simpsons é um método de calcular, de forma aproximada, as integrais definidas. Baseia-se na divisão do intervalo de integração em um número par de subintervalos igualmente espaçados.

Os valores extremos de dois subintervalos consecutivos definem três pontos, pelos quais uma parábola, cuja equação é um polinômio de segundo grau, se encaixa.

Então a área sob a curva da função nos dois intervalos consecutivos é aproximada pela área do polinômio de interpolação. Somando a contribuição à área sob a parábola de todos os subintervalos sucessivos, temos o valor aproximado da integral.

Por outro lado, como a integral de uma parábola pode ser calculada algebricamente com exatidão, é possível encontrar uma fórmula analítica para o valor aproximado da integral definida. É conhecido como o Fórmula de Simpson.

O erro do resultado aproximado assim obtido diminui à medida que o número de subdivisões n é maior (onde n é um número par).

Será dada a seguir uma expressão que permite estimar o limite superior do erro da aproximação da integral I, quando uma partição de n subintervalos regulares do intervalo total [a, b] foi feita.

Fórmula

O intervalo de integração [a, b] é subdividido em n subintervalos com n sendo um número inteiro par. A largura de cada subdivisão será:

h = (b - a) / n

Desta forma, no intervalo [a, b] a partição é feita:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Onde X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

A fórmula que permite aproximar a integral definida I da função contínua, e de preferência suave, no intervalo [a, b] é:

Demonstração

Para obter a fórmula de Simpson, em cada subintervalo [Xi, Xi + 2] a função f (X) é aproximada por um polinômio de segundo grau p (X) (parábola) que passa pelos três pontos: [Xi, f ( XI)]; [Xi + 1, f (Xi + 1)] e [Xi + 2, f (Xi + 2)].

Em seguida, calculamos a integral do polinômio p (x) em [Xi, Xi + 2] que se aproxima da integral da função f (X) nesse intervalo.

Coeficientes do polinômio de interpolação

A equação da parábola p (X) tem a forma geral: p (X) = A X² + B X + C. Conforme a parábola passa pelos pontos Q indicados em vermelho (veja a figura), então os coeficientes A, B, C são determinados a partir do seguinte sistema de equações:

A (-h)² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h)² + B h + C = f (Xi + 2)

Pode-se observar que o coeficiente C é determinado. Para determinar o coeficiente A, adicionamos a primeira e a terceira equações obtendo:

2 A h² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Em seguida, o valor de C é substituído e A é limpo, deixando:

A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 h²)

Para determinar o coeficiente B, a terceira equação é subtraída da primeira e B é resolvida, obtendo:

B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h.

Em resumo, o polinômio de segundo grau p (X) que passa pelos pontos Qi, Qi + 1 e Qi + 2 tem coeficientes:

A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 h²)

B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h

C = f (Xi + 1)

Cálculo da integral aproximada em [Xi, Xi + 2]

Cálculo aproximado da integral em [a, b]

Como já foi dito, uma partição {X0, X1, X2, ..., Xn-1, Xn} é feita no intervalo de integração total [a, b] com a etapa h = Xi + 1 - Xi = (b - a ) / n, onde n é um número par.

Erro de aproximação

Observe que o erro diminui com a quarta potência do número de subdivisões no intervalo. Por exemplo, se você passar de n subdivisões para 2n, o erro diminui por um fator de 1/16.

O limite superior do erro obtido por meio da aproximação de Simpson pode ser obtido a partir desta mesma fórmula, substituindo a quarta derivada pelo valor absoluto máximo da quarta derivada no intervalo [a, b].

Exemplos trabalhados

- Exemplo 1

Considere a função f (X) = 1 / (1 + X²).

Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo [-1, 1] usando o método de Simpson com duas subdivisões (n = 2).

Solução

Tomamos n = 2. Os limites de integração são a = -1 e b = -2, então a partição se parece com isto:

X0 = -1; X1 = 0 e X2 = +1.

Portanto, a fórmula de Simpson assume a seguinte forma:

Com n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, portanto:

- Exemplo 2

Considere a função f (X) = 1 / (1 + X²).

Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo [-1, 1] usando a fórmula de Simpson com quatro subdivisões (n = 4).

Solução

Tomamos n = 4. Os limites de integração são a = -1 e b = -2, então a partição se parece com isto:

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 e X4 = +1.

A fórmula de Simpson é definida assim:

Integral ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]

Para o caso em que está sendo aplicado, é o seguinte:

Integral ≃ {(1 - (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1) }

Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666

- Exemplo 3

Determine a integral definida dos exemplos anteriores exatamente e faça uma comparação do resultado exato com aqueles obtidos usando a fórmula de Simpson nos exemplos 1a e 1b.

Solução

A integral indefinida da função f (X) = 1 / (1 + X²) é a funçãoarctan (X).

Ao avaliar nos limites da integração permanece:

Integral = arctan (1) - arctan (-1) = π / 4 - (-π / 4) = π / 2 = 1,5708

Se compararmos o resultado da solução exata com aquele obtido pelo método de Simpson com n = 2 e n = 4, temos:

Para n = 2, a diferença entre a solução exata e a aproximada é π / 2 - 5/3 = -0,0959, ou seja, uma diferença percentual de -0,06%.

E para a aproximação de Simpson com n = 4, a diferença entre a solução exata e a aproximada é π / 2 - 47/30 = 0,0041, ou seja, uma diferença percentual de 0,003%.

Exercício proposto

O método de Simpson é adequado para ser aplicado em linguagens de programação e em aplicativos de computador para cálculos matemáticos. Sugere-se que o leitor, com base nas fórmulas apresentadas neste artigo, escreva seu próprio código em seu programa favorito.

A figura a seguir mostra um exercício no qual a fórmula de Simpson foi implementada em Estúdio Smath, um software gratuito disponível para sistemas operacionais janelas Y Android.

Referências

Casteleiro, J. M. 2002. Comprehensive Calculus (Edição Ilustrada). Madrid: Editorial ESIC.
UPV. Método de Simpson. Universidade politécnica de Valência. Recuperado de: youtube.com
Purcell, E. 2007. Calculus Nona Edição. Prentice Hall.
Wikipedia. Regra de Simpson. Recuperado de: es.wikipedia.com
Wikipedia.Interpolação polinomial de Lagrange. Recuperado de: es.wikipedia.com