Sistema de equações: métodos de solução, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o sistemas de avaliação Eles consistem em duas ou mais equações com várias variáveis que devem ter uma solução comum. São frequentes, pois na prática são inúmeras as situações que dependem de muitos fatores, que se relacionam de várias formas.

Em geral, um sistema de equações tem a seguinte forma, onde cada função representa uma das condições que a solução deve satisfazer:

Vejamos um exemplo: suponha que você precise fazer folhas retangulares de papel com área de 180 cm² e que têm um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?

Para responder à pergunta, levamos em consideração que as dimensões de uma folha retangular são duas: largura e altura. Isso significa que temos 2 variáveis às quais daremos os nomes usuais de x e Y.

E essas variáveis devem satisfazer as duas condições impostas ao mesmo tempo:

-Primeira condição: a área da folha é de 180 cm². Esta será a primeira função: F₁.

-Segunda condição: o perímetro ou contorno da folha deve ser de 54 cm. Esta é a segunda função F₂.

Para cada condição, uma equação é estabelecida usando linguagem algébrica. A área A de uma folha retangular é obtida multiplicando a largura pela altura:

A = x.y = 180 cm²

E o perímetro P resulta da adição dos lados. Como o perímetro é a soma dos lados:

P = 2x + 2y = 54 cm

O sistema resultante de duas equações e duas incógnitas é:

xy = 180

2 (x + y) = 54

Precisamos de dois números cujo produto é 180 e o duplo produto de sua soma é 54, ou o que é o mesmo: somados eles têm que dar 27. Esses números são 12 e 15.

Na seção de exercícios resolvidos, ofereceremos o método detalhado para encontrar esses valores, enquanto o leitor pode verificar facilmente, substituindo, que eles efetivamente satisfazem ambas as equações.

Exemplos de aplicações de sistemas de equações

A situação proposta acima contém 2 variáveis, e pelo menos 2 equações são necessárias para encontrá-las. Existem sistemas com muito mais variáveis, mas em qualquer caso, se o sistema tiver n deles, requer pelo menos n Equações independentes umas das outras (uma não pode ser uma combinação linear das outras) para encontrar a solução, se ela existir.

Quanto às aplicações, são inúmeras. Aqui estão alguns em que sistemas de equações provam sua utilidade:

-Encontre as correntes que circulam em um circuito usando as leis de Kirchoff.

- No transporte terrestre e aéreo para estabelecer os horários de saída e chegada.

-Encontrar as magnitudes das forças em sistemas dinâmicos ou estáticos sujeitos a múltiplas interações.

-Conhecer a quantidade de itens vendidos durante um determinado período de tempo, ou em fábricas, para determinar as dimensões dos objetos para satisfazer certas condições em termos de superfície ou volume.

-Ao determinar a forma de distribuir um capital em vários investimentos.

- Estabeleça as tarifas para diversos serviços, por exemplo telecomunicações ou shows e saiba a quantidade de dinheiro arrecadado (ver exemplo 2 resolvido)

Métodos de resolução de sistemas de equações

Métodosubstituição

-Uma equação é escolhida e uma das variáveis é apagada.

-Então você tem que substituir a variável limpa em outra equação. Então essa variável desaparece de lá e se o sistema tiver duas equações e duas incógnitas, uma equação é deixada com uma variável que já pode ser resolvida.

-Se o sistema tiver mais de duas variáveis, você deve resolver para uma terceira incógnita de outra equação e substituí-la também.

Um exemplo da aplicação deste método está no exercício resolvido 1.

Método de redução ou eliminação

Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar uma ou mais variáveis e deixar apenas uma. Para isso, é conveniente multiplicar as equações por um fator de forma que, ao somar com outra equação, a incógnita desapareça. Vamos ver um exemplo:

3x² - Y² = 11

x² + 4y² = 8

Multiplicamos a primeira equação por 4:

12x² - 4 anos² = 44

x² + 4y² = 8

Ao adicioná-los, o desconhecido desaparece Y, restante:

13x² = 52

x² = 4

Portanto x₁ = 2 e x₂ = -2. Com esses valores, o leitor pode verificar que e₁ = 1 e y₂ = -1

Método de equalização

Quando o sistema é duas equações com duas incógnitas:

-Uma incógnita é escolhida e eliminada de ambas as equações.

-Os resultados são equalizados, o que permite obter uma única equação com uma única incógnita.

-Esta equação é resolvida e o resultado é substituído em uma das folgas anteriores para obter o valor da outra incógnita.

Este método será aplicado no exercício resolvido 2 da próxima seção.

Método gráfico

Este método consiste em representar graficamente as curvas que cada equação representa. O ponto de intersecção é a solução do sistema. O exemplo a seguir mostra a solução gráfica do sistema:

x² + e ² = 1

2x + 4y = 0

A primeira das equações é um círculo de raio 1 centrado na origem e a segunda é uma linha.

A interseção de ambos são os dois pontos mostrados em azul. O leitor pode verificar que ao substituir as coordenadas dos pontos nas equações acima uma igualdade é obtida.

Exercícios

- Exercício resolvido 1

É necessário fazer folhas retangulares de papel com área de 180 cm² e com um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?

Solução

O sistema a ser resolvido é:

xy = 180

2 (x + y) = 54

A segunda equação pode ser simplificada para x + y = 27, portanto:

xy = 180

x + y = 27

Resolva para uma das incógnitas na segunda equação:

y = 27 - x

A folga é substituída no primeiro:

(27 –x) = 180

Aplicando a propriedade distributiva:

-x² + 27x = 180

Multiplicando por (-1) em ambos os lados da equação e enviando 180 para o lado esquerdo:

x² - 27x +180 = 0

Uma equação de segundo grau resulta em x, que é resolvido pela fórmula:

Com a = 1, b = -27 e c = 180

- Exercício resolvido 2

Um parque de diversões tem as seguintes taxas de entrada: crianças $ 1,5 e adultos $ 4. Em um dia, houve 2.200 visitantes, arrecadando US $ 5.050. Encontre o número de crianças e adultos que visitaram o parque naquele dia.

Solução

Estar x o número de filhos e Y o número de adultos. Podemos estabelecer a primeira das equações sabendo que a soma de ambas deve ser 2200:

x + y = 2200.

Agora vamos com o dinheiro arrecadado. O preço do ingresso infantil é de R $ 1,5 para cada criança, multiplicando este valor por x, a quantidade de crianças, teremos o valor do ingresso infantil:

1,5x = dinheiro arrecadado para ingressos infantis

E se multiplicarmos US $ 4 por adulto pelo número e número de visitantes adultos, obteremos o dinheiro total para todos os adultos:

4y = dinheiro arrecadado por ingressos de adultos

Somamos isso para obter $ 5050:

1,5x + 4y = 5050

Nosso sistema de equações é:

x + y = 2200

1,5x + 4y = 5050

Vamos resolver isso por equalização. Isolamos a variável y da primeira e da segunda equação:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1,5 x) / 4

Nós combinamos as duas expressões:

2200 - x = (5050 - 1,5x) / 4

Multiplicamos tudo por 4 para eliminar a fração:

8800 - 4x = 5050 - 1,5x

Agrupamos os termos com x à esquerda e os números puros à direita:

-4x + 1,5x = 5050 - 8800

-2,5x = -3750

x = 1.500 filhos.

Substituímos esse valor em y = 2200 - x para encontrar o número de adultos:

y = 2.200 - 1.500 = 700 adultos.

Referências

CK-12. Sistemas de equações e desigualdades. Recuperado de: ck12.org.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 2.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.