Transformada discreta de Fourier: propriedades, aplicações, exemplos - Ciência - 2023

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o transformada discreta de Fourier é um método numérico usado para definir amostras referentes às frequências espectrais que compõem um sinal. Ele estuda funções periódicas em parâmetros fechados, produzindo outro sinal discreto como resultado.

A fim de obter a transformada de Fourier discreta de N pontos, em um sinal discreto, as 2 condições a seguir devem ser atendidas em uma sequência x [n]

x [n] = 0 n <0 ˄ n> N - 1

Se essas condições forem satisfeitas, a transformada discreta de Fourier pode ser definida como

A transformada discreta de Fourier pode ser definida como uma amostragem de N pontos da transformada de Fourier.

Interpretação da transformada discreta de Fourier

Existem 2 pontos de vista a partir dos quais os resultados obtidos em uma sequência x podem ser interpretados_s[n] através da transformada discreta de Fourier.

-O primeiro corresponde aos coeficientes espectrais, já conhecidos da série de Fourier. É observada em sinais periódicos discretos, com amostras coincidindo com a sequência x_s[n].

- O segundo trata do espectro de um sinal aperiódico discreto, com amostras correspondentes à sequência x_s[n].

A transformação discreta é uma aproximação do espectro do sinal analógico original. Sua fase depende dos instantes de amostragem, enquanto sua magnitude depende do intervalo de amostragem.

Propriedades

Os fundamentos algébricos da estrutura constituem a base lógica para as seções seguintes.

Linearidade

C. S_n → C. F [S_k]; Se uma sequência for multiplicada por um escalar, sua transformação também será.

T_n+ V_n= F [T_k] + F [V_k]; A transformação de uma soma é igual à soma das transformadas.

Dualidade

F [S_n] → (1 / N) S_-k; Se a transformada discreta de Fourier for recalculada para uma expressão já transformada, a mesma expressão é obtida, escalada em N e invertida em relação ao eixo vertical.

Convolução

Perseguindo objetivos semelhantes aos da transformada de Laplace, a convolução de funções se refere ao produto entre suas transformadas de Fourier. A convolução também se aplica a tempos discretos e é responsável por muitos procedimentos modernos.

X_n * R_n → F [X_n] .F [R_n]; A transformação de uma convolução é igual ao produto das transformadas.

X_n . R_n→ F [X_n] * F [R_n]; A transformação de um produto é igual à convolução das transformadas.

Deslocamento

X_n-m → F [X_k] e ^{–I (2π / N) km} ; Se uma sequência é atrasada por m amostras, seu efeito na transformada discreta será uma modificação do ângulo definido por (2π / N) km.

Simetria conjugado

X_t [-k] = X *_t[k] = X_t [N - K]

Modulação

W^-nm_N . x [n] ↔ X_t[k - m]

produtos

x [n] y [n] ↔ (1 / N) X_t[k] * Y_t[k]

Simetria

X [-n] ↔ X_t[-k] = X *_t[k]

Conjugado

x * [n] ↔ X *_t[-k]

Equação de Parseval

Semelhanças e diferenças com a transformada de Fourier

Com relação à transformada de Fourier convencional, ela tem várias semelhanças e diferenças. A transformada de Fourier converte uma sequência em uma linha sólida. Desse modo, diz-se que o resultado da variável de Fourier é uma função complexa de uma variável real.

A transformada discreta de Fourier, ao contrário, recebe um sinal discreto e o transforma em outro sinal discreto, ou seja, uma sequência.

Para que serve a transformada discreta de Fourier?

Eles servem principalmente para simplificar significativamente as equações, enquanto transformam expressões derivadas em elementos de potência. Denotando expressões diferenciais em formas polinomiais integráveis.

Na otimização, modulação e modelagem de resultados, atua como uma expressão padronizada, sendo um recurso frequente para a engenharia após várias gerações.

História

Este conceito matemático foi apresentado por Joseph B. Fourier em 1811, ao desenvolver um tratado sobre o propagação de calor. Foi rapidamente adotado por vários ramos da ciência e da engenharia.

Estabeleceu-se como principal ferramenta de trabalho no estudo de equações com derivadas parciais, mesmo comparando-a com a relação de trabalho existente entre as Transformada de Laplace e equações diferenciais ordinárias.

Toda função que pode ser trabalhada com uma transformada de Fourier deve apresentar nulo fora de um parâmetro definido.

Transformada discreta de Fourier e seu inverso

A transformação discreta é obtida por meio da expressão:

Depois de dada uma sequência discreta X [n]

O inverso da transformada discreta de Fourier é definido por meio da expressão:

Permite, uma vez alcançada a transformada discreta, definir a sequência no domínio do tempo X [n].

Sem fôlego

O processo de parametrização correspondente à transformada discreta de Fourier está nas janelas. Para trabalhar a transformação, devemos limitar a sequência no tempo. Em muitos casos, os sinais em questão não têm essas limitações.

Uma sequência que não atenda aos critérios de tamanho para aplicar à transformação discreta pode ser multiplicada por uma função de “janela” V [n], definindo o comportamento da sequência em um parâmetro controlado.

X [n]. V [n]

A largura do espectro dependerá da largura da janela. Conforme a largura da janela aumenta, a transformação calculada será mais estreita.

Formulários

Cálculo da solução fundamental

A transformada discreta de Fourier é uma ferramenta poderosa no estudo de sequências discretas.

A transformada discreta de Fourier transforma uma função variável contínua em uma transformada variável discreta.

O problema de Cauchy para a equação do calor apresenta um campo frequente de aplicação da transformada discreta de Fourier.. Onde a função é gerada núcleo de calor ou núcleo de Dirichlet, que se aplica à amostragem de valores em um parâmetro definido.

Teoria do sinal

A razão geral para a aplicação da transformada de Fourier discreta neste ramo é principalmente devido à decomposição característica de um sinal como uma superposição infinita de sinais mais facilmente tratáveis.

Pode ser uma onda sonora ou uma onda eletromagnética, a discreta transformada de Fourier a expressa em uma superposição de ondas simples. Esta representação é bastante frequente na engenharia elétrica.

A série Fourier

São séries definidas em termos de cossenos e senos. Eles servem para facilitar o trabalho com funções periódicas gerais. Quando aplicados, eles fazem parte das técnicas de resolução de equações diferenciais ordinárias e parciais.

As séries de Fourier são ainda mais gerais do que as séries de Taylor, porque desenvolvem funções descontínuas periódicas que não têm representação da série de Taylor.

Outras formas da série Fourier

Para entender a transformada de Fourier analiticamente, é importante revisar as outras maneiras pelas quais a série de Fourier pode ser encontrada, até que a série de Fourier possa ser definida em sua notação complexa.

- Série de Fourier em função do período 2L:

Muitas vezes é necessário adaptar a estrutura de uma série de Fourier para funções periódicas cujo período é p = 2L> 0 no intervalo [-L, L].

- Série Fourier em funções ímpares e pares

O intervalo [–π, π] é considerado, o que oferece vantagens ao se aproveitar as características simétricas das funções.

Se f for par, a série de Fourier é estabelecida como uma série de cossenos.

Se f for ímpar, a série de Fourier é estabelecida como uma série de senos.

- Notação complexa da série Fourier

Se temos uma função f (t), que atende a todos os requisitos da série de Fourier, é possível denotá-la no intervalo [-t, t] usando sua notação complexa:

Exemplos

Em relação ao cálculo da solução fundamental, são apresentados os seguintes exemplos:

Equação de Laplace

Equação de calor

Equação de Schrödinger

Equação de onda

Por outro lado, os seguintes são exemplos da aplicação da transformada discreta de Fourier no campo da teoria do sinal:

-Problemas de identificação do sistema. Estabelecido f e g

-Problema com a consistência do sinal de saída

-Problemas com filtragem de sinal

Exercícios

Exercício 1

Calcule a transformada discreta de Fourier para a seguinte sequência.

Você pode definir o PTO de x [n] como:

X_t[k] = {4, -j2, 0, j2} para k = 0, 1, 2, 3

Exercício 2

Queremos determinar através de um algoritmo digital o sinal espectral definido pela expressão x (t) = e^-t. Onde o coeficiente de solicitação de frequência máxima é f_m= 1 Hz. Um harmônico corresponde a f = 0,3 Hz. O erro é limitado a menos de 5%. Calcular F_s , D e N.

Levando em consideração o teorema de amostragem F_s = 2f_m= 2 Hz

Uma resolução de frequência de F₀ = 0,1 Hz, de onde você obtém D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz é a frequência correspondente ao índice k = 3, onde N = 3 × 8 = 24 amostras. Indicando que F_s = N / A = 24/10 = 2,4> 2

Como o objetivo é obter o menor valor possível para N, os seguintes valores podem ser considerados como uma solução:

F₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referências

Dominando a transformada discreta de Fourier em uma, duas ou várias dimensões: armadilhas e artefatos. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 de julho. 2013
O DFT: Um Manual do Proprietário para a Transformada Discreta de Fourier. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1º de janeiro. novecentos e noventa e cinco
Processamento Digital de Sinais: Teoria e Prática. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
Transformadas e algoritmos rápidos para análise e representação de sinais. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 de dezembro. 2012
Transformadas de Fourier discretas e contínuas: análise, aplicações e algoritmos rápidos. Eleanor Chu. CRC Press, 19 de março. 2008