Pentadecágono: elementos, classificação, características, exercício - Ciência - 2023

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Pentadecágono: elementos, classificação, características, exercício - Ciência
Pentadecágono: elementos, classificação, características, exercício - Ciência

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UMA pentadecaagon É uma figura plana construída com quinze segmentos retos e de forma fechada. Esta classe de figuras é chamada polígono e eles são nomeados de acordo com o número de lados que possuem.

O triângulo, com três lados, e o quadrilátero, com quatro, são exemplos de polígonos muito familiares, mas os polígonos podem ter mais lados.

Os elementos básicos do pentadecágono são os mesmos de qualquer polígono, independentemente do número de lados que possui. Esses elementos são:

–Lados, que são os segmentos que compõem o pentadecágono para um total de 15.

–Vértices, também 15, que são as extremidades dos lados adjacentes.

–Ângulos internos, aqueles que são formados dentro do pentadecágono entre dois lados adjacentes.


–Ângulos externos, formada entre um lado e a extensão de um dos lados consecutivos.

–Diagonais, os segmentos de linha que unem dois vértices não adjacentes.

Classificação

Um pentadecágono pode ser regular ou irregular, dependendo do tamanho de seus lados e da medida de seus ângulos internos. Se tiver todos os lados e ângulos internos iguais - equiangular e equiangular - é regular, como o mostrado na figura 1, caso contrário, é irregular.

Também pode ser classificado como convexo ou côncavo. Um pentadecágono côncavo tem um ou mais ângulos internos maiores que 180º, enquanto um convexo sempre tem ângulos internos menores que 180º. O pentadecágono regular é convexo.

Outro critério de classificação é levado em consideração ao considerar se suas faces não consecutivas - ou suas extensões - são cortadas ou não. Quando não são cortados, como no caso da Figura 1, diz-se que é um pentadecágono simples. E se eles forem cortados, então é complexo.


O pentadecágono regular

O pentadecágono regular, cujos lados e ângulos internos têm a mesma medida, é uma figura altamente simétrica, pois são definidos os seguintes elementos adicionais aos descritos anteriormente:

–Centro: o ponto equidistante dos vértices e lados.

–Rádio: a distância do centro a um dos vértices do pentadecágono regular.

–Ângulo central: aquele que tem seu vértice no centro da figura e seus lados passam por dois vértices adjacentes.

–Apótema, é o segmento perpendicular que une o centro de um lado com o centro da figura.

- Características do pentadecágono regular

Ângulos internos

A fórmula a seguir é usada para calcular a medida I dos ângulos internos de qualquer polígono regular, onde n é o número de lados:


Nessa fórmula, a medida I vem em graus, para expressá-la em radianos ela é multiplicada pelo fator π / 180. Vamos ver qual é a medida dos ângulos internos do pentadecágono regular, substituindo n = 15:

I = [(15-2) × 180º] / 15 = 156º

O que equivale a 13π / 15 radianos. Como os ângulos internos do pentadecágono regular são menores que 180º, ele é um polígono convexo.

Soma dos ângulos internos

A soma S dos ângulos internos pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

S = (n-2) x 180º

Como sempre, n representa o número de lados. Esta fórmula é válida para n = 3, 4, 5….

Fazendo n = 15 obtemos:

S = (15 - 2) x 180º = 2340º

Ângulos externos

Um ângulo interno e um ângulo externo são complementares, ou seja, sua soma é 180º, conforme mostrado na figura 2. Portanto, um ângulo externo do pentadecágono mede:

180 º – 156º = 24º.

Perímetro e área

Perímetro é a medida do contorno do polígono e é facilmente encontrado adicionando todos os lados. sim para é o comprimento do lado, basta multiplicar por n, o número de lados.

Para um pentadecágono regular com lado a, o perímetro P é:

P = 15a

Se for uma figura irregular, em que a medida dos lados difere, o perímetro é encontrado somando-se o comprimento de todos os seus lados.

Quanto à área, podemos calculá-la de várias maneiras.Por exemplo temos a fórmula que permite obtê-la sabendo o comprimento a de seus lados:


A = 17,6426⋅a2

Existe outra opção, aplicável a polígonos regulares. Trata-se de dividi-los em triângulos com uma base igual ao lado do polígono a. A altura do triângulo é o comprimento do apótema LPARA, definido acima.

A área deste triângulo é calculada com a fórmula bem conhecida: base x altura / 2. Desta forma, a área de um único triângulo é:

Área = a. euPARA /2

Para ter a área total do polígono, basta multiplicar pelo número de lados n, que neste caso é 15:

A = 15⋅a⋅ LPARA /2

E como o perímetro da figura é P = 15⋅a, então:

A = P⋅ LPARA /2

Diagonais

As diagonais são os segmentos que unem dois vértices não consecutivos, conforme declarado acima. Para descobrir quantas diagonais um polígono regular de n lados, incluindo o pentadecágono, existe a seguinte fórmula:


Onde D é o número de diagonais.

Agora substituímos n = 15, para obter o total das diagonais:

D = [15 × (15-3)] / 2 = 90 diagonais.

Construção com régua e compasso

O pentadecágono é construído com uma régua e compasso a partir de uma circunferência. Os 360º devem ser divididos em 15 partes iguais de 24º cada. Primeiramente, as construções auxiliares indicadas na animação são feitas para obter um ângulo de 60º, que se divide em 36º e 24º.

Exercício resolvido

Se o perímetro de um pentadecágono inscrito em um círculo de raio R é 12,56 cm. Calcular:

a) O raio.

b) Sua área.

Solução para

O perímetro é P = 15⋅a = 12,56 cm, portanto o lado do pentadecágono é 0,8373 cm. O rádio Podemos calculá-lo com a ajuda de um dos triângulos da figura 4.


Apothem LPARA corresponde à altura do triângulo, desenhado em vermelho, que divide o ângulo de 24º em dois ângulos de 12º cada.

Existem dois triângulos retângulos com um ângulo interno de 12º cada, e podemos aplicar trigonometria a qualquer um deles para encontrar a hipotenusa, que é o comprimento R do raio.

Desta maneira:

sen 12º = (a / 2) / R

R = (a / 2) / sen 12º = (0,8373 cm / 2) / sen 12º = 2,01 cm.

Solução b

Podemos calcular a área do pentadecágono usando a fórmula:

A = P⋅ LPARA /2

Já sabemos o perímetro P = 12,56 cm, e o comprimento do apótema é calculado usando a tangente ou o cosseno de 12º:

cos 12º = LPARA / R

euPARA = R. cos 12 º = 2,01 cm. cos 12º = 1,97 cm

Substituindo:

A = 12,56 cm⋅ 1,97 cm / 2 = 12,35 cm2

Referências

  1. Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
  2. Aprenda matemática. Figuras geométricas. Recuperado de: rodrigoanchorena.wixsite.com.
  3. Sangaku Maths. Elementos de um polígono e sua classificação. Recuperado de: sangakoo.com.
  4. Wikipedia. Pentadecágono. Recuperado de: es.wikipedia.org.
  5. Wolfram Math World. Pentadecágono. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.