Área de um pentágono regular e irregular: como desenhá-lo, exercícios - Ciência - 2023

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Para calcular o área de um pentágono primeiro precisamos determinar se isso é regular ou não. Um pentágono é um polígono, uma figura plana fechada com cinco lados. Quando um polígono é regular, significa que o comprimento de seus lados é o mesmo e seus ângulos internos são os mesmos.

Nesse caso, existe uma fórmula para calcular a área exata do polígono regular, conhecendo algumas de suas principais características, que deduziremos posteriormente.

Se o polígono não for regular, ou seja, tiver lados de tamanhos diferentes e ângulos internos desiguais, não haverá uma fórmula única.

No entanto, os matemáticos encontraram estratégias de cálculo, como dividir a figura em outras com menos lados, como triângulos, quadrados e retângulos, cujas dimensões são facilmente conhecidas ou calculadas.

Outro procedimento para calcular áreas de polígonos em geral, conhecendo as coordenadas de seus vértices, é o método denominado Determinantes gaussianos, que descreveremos mais tarde.

Como encontrar a área de um pentágono regular?

Vamos pegar um pentágono regular com o lado a, e vamos dividi-lo em 5 triângulos iguais como mostrado na figura, desenhando segmentos do centro (vermelho) aos vértices (azul).

Por sua vez, os triângulos, como o destacado em amarelo à direita na figura acima, são divididos em dois triângulos retângulos iguais, graças ao segmento verde, denominado apótema.

O apótema é definido como o segmento perpendicular que conecta o centro do polígono com o centro de um dos lados. Seu comprimento é L_PARA.

A área de um triângulo retângulo com base a / 2 e altura L_PARA isto é:

[(a / 2) x L_PARA]

O pentágono tem 10 triângulos como este, portanto sua área é:

A = 10 (a / 2) x L_PARA

Mas o perímetro P do pentágono é precisamente P =10a, portanto a área é dada pelo semiproduto do perímetro e pelo comprimento do apótema:

A = P x L_PARA /2

Área do pentágono regular que conhece o lado a

Expressando o comprimento do apótema L_PARA em função do lado a, sabendo-se que o ângulo indicado é a metade do ângulo central, ou seja, 36º, equivalente a:

36º = π/5

Por trigonometria elementar, através da tangente do ângulo agudo 36º:

tan (π / 5) = (a / 2) ÷ L_PARA

Conseqüentemente:

eu_PARA=(a / 2) ÷ tan (π / 5)

Substituindo na área deduzida na seção anterior, e sabendo que P = 5a:

A = P x L_PARA /2

Área do pentágono regular conhecendo seu raio

o rádio de um polígono regular é o segmento que vai do centro a um de seus vértices. Corresponde ao raio do círculo circunscrito, conforme mostrado na figura a seguir:

Seja R a medida do referido raio, que coincide com a hipotenusa do triângulo retângulo delineado na figura anterior, em azul. Por trigonometria:

cos 36º = cos (π / 5) = L_PARA ÷ R

sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R

Portanto:

A = P x L_PARA / 2 = 5R. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R² [sin (π / 5) x cos (π / 5)]

Usando a fórmula de ângulo duplo:

sin (2θ) = 2 sin θ. cos θ

Nós temos isso:

[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º

E assim, substituindo este valor, obtemos a seguinte fórmula para a área do pentágono regular:

A = (5/2) R².sen 72º

Como calcular a área de um pentágono irregular?

Como dissemos antes, para um polígono irregular não existe uma fórmula única, mas existem dois métodos que geralmente funcionam muito bem, o primeiro é chamado de triangulação e o segundo é o método dos determinantes gaussianos.

Triangulação

Consiste em dividir a figura em triângulos, cuja área é mais fácil de calcular, ou também pode ser testada com outras figuras de área conhecida, como quadrados, retângulos e trapézios.

Determinantes gaussianos

Outra forma de encontrar a área do pentágono irregular ou outro polígono irregular é colocar a figura em um sistema de coordenadas cartesianas, a fim de encontrar as coordenadas dos vértices.

Conhecendo essas coordenadas, aplica-se o método gaussiano dos determinantes para o cálculo da área, que se dá pela seguinte fórmula:

Onde A é a área do polígono e (x_n , Y_n) são as coordenadas dos vértices. Um polígono com n lados possui 5 vértices, para o pentágono seria n = 5:

As barras que acompanham a fórmula são as barras de módulo ou valor absoluto.

Isso significa que mesmo que o resultado da operação seja negativo, devemos expressá-lo com um sinal positivo e, se já for positivo, deve ser deixado com esse sinal. Isso ocorre porque uma área é sempre uma quantidade positiva.

O procedimento é denominado determinantes gaussianos em homenagem a seu criador, o matemático alemão Carl F. Gauss (1777-1855). As operações indicadas são equivalentes ao determinante de uma matriz 2 × 2, por exemplo, o primeiro determinante é:

Para encontrar a área do pentágono devemos resolver 5 determinantes, somar o resultado algebricamente, dividir por 2 e finalmente expressar a área sempre com sinal positivo.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Encontre a área do pentágono regular cujo apótema tem 4 cm e cujo lado tem 5,9 cm.

Solução

Por ser um pentágono regular, e temos a medida do lado e do apótema, usamos a fórmula derivada acima:

A = P x L_PARA /2

O perímetro P é igual a 5a = 5 x 5,9 cm = 29,5 cm.

A = 29,5 cm x 4 cm / 2 = 59 cm²

Exercício 2

Encontre a área do pentágono irregular mostrado. As seguintes dimensões são conhecidas:

DC ≈ DE

AE = AB = 5

BC = 12

Solução

A área do pentágono é a soma das áreas dos triângulos, que são retângulos. O enunciado diz que DC ≈ DE, portanto ao aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo EDC temos:

CE² = 2 ED². Então EC = √2.ED.

Os triângulos AEC e ABC têm uma hipotenusa comum, que é o segmento AC, portanto:

EA² + EC² = AB² + BC²

Uma vez que EA e AB medem a mesma coisa, segue-se que:

EC = BC = √2.ED

Como BC = 12, então ED = 12 / √2 = 8,485.

Com esses valores vamos calcular a área de cada triângulo e adicioná-los no final.

Área do triângulo EDC

ED x DC / 2 = 8,485² / 2 = 36

Área do triângulo AEC

EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8.485 / 2 = 30

Área do triângulo ABC

AB x BC / 2

Então a área pesquisada é:

5 x 12/2 = 30

É o mesmo que o triângulo AEC, já que ambos têm as mesmas medidas.

Área irregular do pentágono

Por fim, a área solicitada é a soma das áreas dos três triângulos:

A = 36 + 30 + 30 unidades = 96 unidades.

Referências

Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Referência de matemática aberta. Área de um polígono. Recuperado de: mathopenref.com.
Fórmulas do universo. Área de um pentágono irregular. Recuperado de: universoformulas.com.
Fórmulas do universo. Área de um pentágono regular. Recuperado de: universoformulas.com.
Wikipedia. Pentágono. Recuperado de: es.wikipedia.com.