Variação linear: conceito, exemplos, exercício resolvido - Ciência - 2023

Contente

o variação linear ocorre entre duas grandezas físicas quando o gráfico que as representa é uma linha reta. Equivale a afirmar que as variáveis estão em dependência linear, de modo que se chamarmos uma delas de “y” e a outra de “x”, elas se relacionarão por meio da expressão matemática:

y = mx + b

Nesta fórmula, m e b são números reais. O valor de m representa a inclinação ou inclinação da linha -que é sempre constante- eb é o corte da reta com o eixo vertical.

Cada fenômeno que responde a uma variação linear tem nomes diferentes para as variáveis, como veremos nos exemplos a seguir. No entanto, a forma matemática da equação é a mesma.

Experimentalmente, pode-se estabelecer se existe uma relação linear entre duas grandezas, medindo os pares de valores (x, y).

Os pontos assim obtidos são plotados em papel milimetrado e observa-se se possuem tendência linear, ou seja, se existe uma linha que se ajusta adequadamente aos dados experimentais.

No primeiro caso, esta linha pode ser desenhada visualmente, mas por meio de um regressão linear os valores de m e b da linha que melhor se ajustam aos pontos experimentais podem ser encontrados analiticamente.

Exemplos de variação linear

São inúmeros os fenômenos naturais, bem como as relações estabelecidas entre os padrões de medição, que obedecem a uma variação linear, por exemplo:

Velocidade em movimento retilíneo uniformemente variada

A velocidade em função do tempo v (t) de um móvel movendo-se ao longo de uma linha com aceleração constante ae velocidade inicial v_ou diferente de 0. Este movimento é conhecido como movimento retilíneo uniformemente variado e a equação para velocidade é:

v (t) = v_ou + em

Expansão térmica

Outro fenômeno natural cuja variação é linear é o aumento do comprimento que uma barra ou fio experimenta quando aquecida.

De fato, quando a temperatura de qualquer objeto aumenta, também aumentam suas dimensões, e esse aumento depende da mudança de temperatura ΔT e de uma quantidade chamada coeficiente de expansão linear denotado pela letra grega α:

L = L_ou + α ΔT

Nesta expressão L é o comprimento final do objeto e L_oué o seu comprimento inicial.

Posição de um celular com velocidade constante

Um celular com Rapidez constante sempre se move em linha reta. Se a linha reta é o eixo horizontal x, a posição x (t) em qualquer instante é dada por:

x (t) = x_ou + vt

Onde x_ou é a posição inicial, v é a velocidade e t é o tempo. Desse modo, diz-se que a posição x varia linearmente com o tempo t.

Altura de uma pessoa

Médicos e antropólogos podem estimar a altura de uma pessoa medindo o comprimento do fêmur.

Quanto mais alta uma pessoa, mais compridas são as pernas, portanto, existem modelos lineares para prever a altura de um adulto H (em polegadas) se o comprimento L (também em polegadas) de seu fêmur for conhecido, de acordo com equação:

H = 1.880⋅L + 32.010

Escalas de temperatura

As escalas Celsius e Fahrenheit são usadas diariamente para medir temperaturas. Esta última escala é comumente usada em países de língua inglesa. Há uma equivalência para ir de um para o outro:

F = (9/5) C + 32

Onde F é a temperatura em graus Fahrenheit e C é a temperatura em graus Celsius.

Pressão e profundidade

A pressão absoluta P em um fluido incompressível como a água, cuja densidade constante é ρ, varia em função da profundidade h como:

P = P_ou+ ρgh

Onde P_ou é a pressão na superfície livre do líquido. Se o líquido está em um recipiente aberto para a atmosfera, essa pressão é simplesmente a pressão atmosférica P_atm, sendo capaz de escrever então:

P = P_atm + ρgh

A pressão atmosférica ao nível do mar é de aproximadamente 101 kPa. Essa relação entre P e h significa que a pressão aumenta linearmente com a profundidade.

Exercício resolvido

Custo de condução

O custo mensal C de dirigir um carro inclui um custo mensal fixo C_ou mais o custo da milhagem ou quilometragem percorrida a cada mês. Um motorista observa que em um determinado mês o custo de dirigir era de US $ 380 por 480 milhas, e no mês seguinte era de US $ 460 por 800 milhas.

Seja d o número de milhas percorridas por mês pelo motorista, com os dados fornecidos, encontre:

a) A variação linear entre C e d.

b) Quanto custaria por mês dirigir o carro em uma viagem de 1.500 milhas?

c) O gráfico de C versus d.

Solução para

Suponha que as variáveis tenham um relacionamento dado por:

C = C_ou + A.d

Onde A e C_ou são constantes a serem determinadas. A é a inclinação da linha que representa graficamente a relação entre C e d. Co é o corte com o eixo vertical, custo fixo mensal que o motorista deve pagar pelo simples fato de ter o carro disponível. Isso pode incluir custos de manutenção e impostos, por exemplo.

Para determinar de forma inequívoca uma reta, é necessário conhecer sua inclinação. Para isso temos os pontos:

P₁: 480 milhas, $ 380

P₂: 800 milhas, $ 460

Esses pontos, de coordenadas (d, C) ou (distância, custo) são análogos aos pontos de coordenadas (x, y) do plano cartesiano, o que muda são os nomes. A inclinação A da linha é então dada por:

A = (C₂ - C₁) / (d₂ - d₁)

A = [(460 - 380) $ / (800 - 480) milhas] = (1/4) $ / milha

A inclinação da linha representa o custo por milha, assim:

C = C_ou + A.d = Co + (1/4) .d

Para determinar o custo da base C_ou Esta equação é tomada e um dos pontos que sabemos pertencer a ela é substituído, por exemplo P₁:

380 $ = C_ou + [(1/4) $ / milha]. 480 milhas → 380 $ = C_ou + 120 $

C_ou = 260 $

Agora podemos formular o modelo de variação linear como:

C = 260 + (1/4) d

Solução b

O custo mensal de viajar 1.500 milhas é:

C = 260 + (1/4) x $ 1.500 = $ 635

Solução c

O gráfico de C versus d é:

Referências

Baldor. 1977. Elementary Algebra. Edições culturais venezuelanas.
Hoekenga, C. Linear Equations in Science. Recuperado de: visionlearning.com.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 2.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.