Conjunto infinito: propriedades, exemplos - Ciência - 2023

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É compreendido por conjunto infinito aquele conjunto em que o número de seus elementos é incontável. Ou seja, não importa o quão grande seja o número de seus elementos, sempre é possível encontrar mais.

O exemplo mais comum de um conjunto infinito é o dos números naturais N. Não importa o quão grande seja o número, já que você sempre pode obter um maior em um processo que não tem fim:

N = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ……………………………………….,100, 101,………………………, 126, 127, 128,………………………………………}

O conjunto de estrelas no universo é certamente imenso, mas não se sabe ao certo se é finito ou infinito. Em contraste com o número de planetas do sistema solar, que é conhecido por ser um conjunto finito.

Propriedades do conjunto infinito

Dentre as propriedades dos conjuntos infinitos podemos destacar o seguinte:

1- A união de dois conjuntos infinitos dá origem a um novo conjunto infinito.

2- A união de um conjunto finito com um infinito dá origem a um novo conjunto infinito.

3- Se o subconjunto de um determinado conjunto é infinito, o conjunto original também é infinito. A afirmação recíproca não é verdadeira.

Você não pode encontrar um número natural capaz de expressar a cardinalidade ou o número de elementos de um conjunto infinito. No entanto, o matemático alemão Georg Cantor introduziu o conceito de número transfinito para se referir a um ordinal infinito maior do que qualquer número natural.

Exemplos

O natural N

O exemplo mais frequente de um conjunto infinito é o dos números naturais. Os números naturais são usados para contar, no entanto, os números inteiros que podem existir são incontáveis.

O conjunto de números naturais não inclui zero e é comumente denotado como o conjunto N, que é amplamente expresso da seguinte forma:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} E é claramente um conjunto infinito.

Uma reticência é usada para indicar que após um número, outro segue e outro em um processo infinito ou infinito.

O conjunto de números naturais unidos ao conjunto que contém o número zero (0) é conhecido como o conjunto N+.

N+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Qual é o resultado da união do conjunto infinito N com o conjunto finito OU = {0}, resultando no conjunto infinito N+.

Os inteiros Z

O conjunto de números inteiros Z É composto pelos números naturais, os números naturais com sinal negativo e o zero.

Números inteiros Z são considerados uma evolução em relação aos números naturais N usado originalmente e primitivamente no processo de contagem.

No conjunto numérico Z dos inteiros, zero é incorporado para contar ou não contar nada e números negativos para contar extração, perda ou falta de algo.

Para ilustrar a ideia, suponha que um saldo negativo apareça na conta bancária. Isso significa que a conta está abaixo de zero e não só a conta está vazia, mas também tem uma diferença ausente ou negativa, que de alguma forma deve ser substituída pelo banco.

Em forma extensa, o conjunto infinito Z de inteiros é escrito assim:

Z = { ……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Os racionais Q

Na evolução do processo de contagem e troca de coisas, bens ou serviços, aparecem números fracionários ou racionais.

Por exemplo, ao trocar meio pão por duas maçãs, ao registrar a transação, ocorreu a alguém que a metade deveria ser escrita como uma dividida ou dividida em duas partes: ½. Mas metade da metade do pão seria registrada nos livros da seguinte maneira: ½ / ½ = ¼.

É claro que esse processo de divisão pode ser infinito em teoria, embora na prática seja até que a última partícula de pão seja alcançada.

O conjunto de números racionais (ou fracionários) é denotado da seguinte forma:

Q = { ………, -3, …., -2, ….., -1, ……, 0, ….., 1, ……, 2, ….., 3,……..}

A reticência entre os dois inteiros significa que entre esses dois números ou valores existem infinitas partições ou divisões. É por isso que se diz que o conjunto de números racionais é infinitamente denso. Isso ocorre porque não importa o quão próximos dois números racionais possam estar um do outro, podem ser encontrados valores infinitos.

Para ilustrar o que foi dito acima, suponha que devemos encontrar um número racional entre 2 e 3. Esse número pode ser 2⅓, que é conhecido como um número misto consistindo de 2 partes inteiras mais um terço da unidade, que é equivalente a escrever 4/3.

Entre 2 e 2⅓ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅙. E entre 2 e 2⅙ outro valor pode ser encontrado, por exemplo 2⅛. Entre estes dois outro, e entre eles outro, outro e outro.

Números irracionais I

Existem números que não podem ser escritos como a divisão ou fração de dois números inteiros. É esse conjunto numérico conhecido como conjunto I dos números irracionais e também é um conjunto infinito.

Alguns elementos notáveis ou representantes deste conjunto numérico são o número pi (π), o número de Euler (e), a proporção áurea ou número áureo (φ). Esses números só podem ser escritos por um número racional:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (e continua até o infinito e além…)

e = 2,7182818284590452353602874713527 ……. (E continua além do infinito…)

φ = 1,61803398874989484820 …… .. (até o infinito… ..e além… ..)

Outros números irracionais aparecem ao tentar encontrar soluções para equações muito simples, por exemplo, a equação X ^ 2 = 2 não tem uma solução racional exata. A solução exata é expressa pela seguinte simbologia: X = √2, que é lido x igual à raiz de dois. Uma expressão racional (ou decimal) aproximada para √2 é:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Existem incontáveis números irracionais, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) para citar alguns.

O conjunto de reais R

Os números reais são os conjuntos de números usados com mais frequência em cálculo matemático, física e engenharia. Este conjunto de números é a união dos números racionais Q e números irracionais Eu:

R = Q OU Eu

Infinito maior que infinito

Entre os conjuntos infinitos, alguns são maiores do que outros. Por exemplo, o conjunto de números naturais N é infinito, porém é um subconjunto dos números inteiros Z que também é infinito, portanto, o conjunto infinito Z é maior que o conjunto infinito N.

Da mesma forma, o conjunto de números inteiros Z é um subconjunto dos números reais Re, portanto, o conjunto R é "mais infinito" do que o conjunto infinito Z.

Referências

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Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
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