Soma telescópica: como é resolvido e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o soma telescópico é um ramo de operações com séries numéricas. Ele lida com a soma de elementos de um valor inicial a "n" de expressões cujo argumento obedece a qualquer um dos seguintes padrões:

(F_x- F_{x + 1}); (F_{x + 1} - F_x)

Como também:

Eles representam um somatório de elementos que, quando desenvolvidos, estão sujeitos a cancelamentos de termos opostos. Tornando possível definir a seguinte igualdade para soma telescópica:

Seu nome vem da relação com o surgimento de um telescópio clássico, que podia ser dobrado e desdobrado, mudando notavelmente de dimensão. Da mesma forma, as somas telescópicas, de natureza infinita, podem ser resumidas na expressão simplificada:

F₁- F_{n + 1}

Demonstração

Ao desenvolver a soma de termos, a eliminação de fatores é bastante óbvia. Onde, para cada um dos casos, elementos opostos aparecerão na próxima iteração.

O primeiro caso, (F_x - F_{x + 1}), uma vez que o processo funciona de forma homóloga para (F_{x + 1}-F_x).

Desenvolvendo os 3 primeiros valores {1, 2, 3} a tendência de simplificação é observada

X₁ (F₁ - F₁₊₁) = F₁ - F₂

X₂ (F₂ - F₂₊₁) = F₂ - F₃

X₃ (F₃ - F₃₊₁) = F₃- F₄

Onde ao expressar a soma dos elementos descritos:

X₁ + X₂ + X₃ = F₁ - F₂+ F₂ - F₃ + F₃- F₄

Observa-se que os termos F₂e F₃ eles são descritos junto com seus opostos, o que torna sua simplificação inevitável. Da mesma forma, observa-se que os termos F₁e F₄se mantém.

Se a soma foi feita de x = 1 a x = 3, significa que o elemento F₄ corresponde ao termo genérico F_{n + 1.}

Demonstrando assim a igualdade:

Como isso é resolvido?

O objetivo dos somatórios telescópicos é facilitar o trabalho, de forma que não seja necessário desenvolver um número infinito de termos, ou simplificar alguma cadeia de adendos muito longa.

Para sua resolução será necessário apenas avaliar os termos F₁e F_{n + 1}. Essas substituições simples constituem o resultado final da soma.

A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.

O importante é perceber a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nestes casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum.

O método de fatoração característico em adições telescópicas é o de frações simples. Isso ocorre quando uma fração original é decomposta em uma soma de várias frações, onde o padrão telescópico (F_x- F_{x + 1}) ou (F_{x + 1} - F_x).

Decomposição em frações simples

Para verificar a convergência de séries numéricas, é muito comum transformar expressões racionais com o método da fração simples. O objetivo é modelar o gráfico na forma de um somatório telescópico.

Por exemplo, a seguinte igualdade representa uma decomposição em frações simples:

Ao desenvolver a série numérica e aplicar as propriedades correspondentes, a expressão assume a seguinte forma:

Onde a forma telescópica (F_x- F_{x + 1}).

O procedimento é bastante intuitivo e consiste em encontrar os valores do numerador que, sem quebrar a igualdade, permitem separar os produtos que estão no denominador. As equações que surgem na determinação destes valores, são levantadas de acordo com as comparações entre os dois lados da igualdade.

Esse procedimento é observado passo a passo no desenvolvimento do exercício 2.

História

É bastante incerto poder definir o momento histórico em que os somatórios telescópicos foram apresentados. Porém, sua implantação começa a ser observada no século XVII, nos estudos de séries numéricas realizados por Leibniz e Huygens.

Ambos os matemáticos, explorando as somas de números triangulares, começam a notar tendências na convergência de certas séries de elementos sucessivos. Mas ainda mais interessante é o início da modelagem dessas expressões, em elementos que não necessariamente se sucedem.

Na verdade, a expressão usada anteriormente para se referir a frações simples:

Foi apresentado por Huygens e imediatamente chamou a atenção de Leibniz. Quem com o tempo pôde observar a convergência para o valor 2. Sem saber, implementou o formato de soma telescópica.

Exercícios

Exercício 1

Defina para qual termo a seguinte soma converge:

Ao desenvolver manualmente o somatório, o seguinte padrão é observado:

(2³ – 2⁴) + (2⁴ – 2⁵) + (2⁵ – 2⁶) . . . . (2¹⁰ – 2¹¹)

Onde os fatores de 2⁴ até 2¹⁰Apresentam partes positivas e negativas, evidenciando seu cancelamento. Então, os únicos fatores que não serão simplificados serão os primeiros "2³”E o último“ 2¹¹”.

Desta forma, ao implementar o critério de soma telescópica, obtém-se o seguinte:

Exercício 2

Transforme o argumento em um somatório de tipo telescópico e defina a convergência da série:

Conforme indicado no depoimento, a primeira coisa a fazer é decompor em frações simples, a fim de reafirmar o argumento e expressá-lo de forma telescópica.

Deve-se encontrar 2 frações cujos denominadores sejam respectivamente "n" e "n + 1", onde o método utilizado a seguir deve obter os valores do numerador que satisfaçam a igualdade.

Prosseguimos para definir os valores de A e B. Primeiro, adicione as frações.

Em seguida, os denominadores são simplificados e uma equação linear é estabelecida.

Na próxima etapa, a expressão à direita é operada até que um padrão comparável ao "3" à esquerda seja alcançado.

Para definir as equações a serem usadas, os resultados de ambos os lados da igualdade devem ser comparados. Ou seja, nenhum valor da variável n é observado no lado esquerdo, então A + B terá que ser igual a zero.

A + B = 0; A = -B

Por outro lado, o valor constante A deverá ser igual ao valor constante 3.

A = 3

Portanto.

A = 3 e B = -3

Uma vez que os valores do numerador para as frações simples já estão definidos, o somatório é refeito.

Onde a forma genérica de soma telescópica já foi alcançada. A série telescópica é desenvolvida.

Onde ao dividir por um número muito grande o resultado ficará cada vez mais próximo de zero, observando a convergência da série para o valor 3.

Este tipo de série não poderia ser resolvido de outra forma, devido ao número infinito de iterações que definem o problema. No entanto, este método, a par de muitos outros, enquadra o ramo do estudo das séries numéricas, cujo objetivo é determinar os valores de convergência ou definir a divergência dessas séries.

Referências

Aulas de cálculo infinitesimal. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
Cálculo Integral: Sequências e Séries de Funções. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 de outubro. 2014.
Um curso de cálculo e análise real. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 de junho. 2006.
Série infinita. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
Elementos da Teoria dos Processos Infinitos. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.