Identidades trigonométricas (exemplos e exercícios) - Ciência - 2023

Contente

As identidades trigonométricas são relações entre proporções trigonométricas, que são verdadeiras para qualquer valor da variável. Por exemplo:

tan θ = sin θ / cos θ

É uma identidade trigonométrica que relaciona três razões do ângulo θ, a tangente, o seno e o cosseno do referido ângulo.

Essa identidade é verdadeira para todos os valores, exceto aqueles que tornam 0 o denominador. O cos θ é 0 para θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 ... Outro exemplo de identidade trigonométrica é:

sin x. sec x. ctg x = 1

Demonstração

Existem duas maneiras básicas de mostrar que uma identidade trigonométrica é verdadeira:

1- Transformar um dos membros da igualdade no outro, através de convenientes manipulações algébricas.

2- Desenvolver os dois membros da igualdade separadamente, até que as respectivas expressões finais de cada um sejam exatamente as mesmas.

Na identidade proposta, vamos transformar o lado esquerdo da igualdade, para o qual expressamos ctg x e sec x em termos de seno e cosseno da seguinte maneira:

ctg x = cos x / sin x

seg x = 1 / cos x

Substituímos essa expressão no lado esquerdo da identidade e simplificamos:

sin x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sen x) = 1

E a veracidade da identidade já foi verificada.

Tipos de identidades trigonométricas

Existem várias classes de identidades trigonométricas. Descreveremos brevemente os principais a seguir:

- Identidades trigonométricas fundamentais

Nós distinguimos dois tipos de identidades fundamentais:

I) Aqueles que são expressos através das relações básicas seno, cosseno e tangente:

seg x = 1 / cos x
cosec x / 1 / sin x
ctg x = 1 / tg x
tg x = sin x / cos x
ctg x = cos x / sin x

II) As derivadas de paridade. Sabemos por seu gráfico que sin x é uma função ímpar, o que significa que:

sin (-x) = - sen x

Por sua vez, cos x é uma função par, portanto:

cos (-x) = cos x

Então:

tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

Igualmente:

cotg (-x) = -ctg x
seg (-x) = seg x
cosec (-x) = - cosec x

- Identidades pitagóricas

Eles são aqueles obtidos a partir da aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo das pernas aeb e à hipotenusa c. Vamos ver:

O teorema de Pitágoras afirma que:

c² = a² + b²

Dividindo tudo por c²:

c² / c² = (a² / c²) + (b² / c²)

O termo à esquerda é 1 e lembrando que o seno e cosseno do ângulo agudo α são definidos como:

sin α = a / c

cos α = b / c

Resultado:

1 = (sin α)² + (cos α)²

Esta identidade é conhecida como identidade fundamental.

O procedimento pode ser realizado dividindo por um² e B², o que dá origem a mais duas identidades:

seg² α = 1 + tg² α

colheita² α = 1 + ctg² α

- Fórmulas para o cosseno e seno de adição / subtração de ângulos

As principais identidades trigonométricas para cosseno, seno e tangente de adição e subtração são as seguintes:

Prova de pecado (α + β) e cos (α + β)

Essas identidades podem ser comprovadas geometricamente ou também pela fórmula de Euler:

e^iα= cos α + i sen α

Vamos ver o que acontece com a fórmula ao substituir a soma de dois ângulos α e β:

e^{i (α +}^β⁾= cos (α + β) + i sen (α + β)

Esta expressão é complexa, sua parte real é cos (α + β) e sua parte imaginária é i sin (α + β). Guardamos este resultado para uso posterior e nos concentramos no desenvolvimento da parte exponencial:

e^{i (α +}^β⁾= e^iα ⋅ e^iβ= (cos α + i sen α). (cos β + i sen β) =

= cos α⋅cos β + cos α⋅i sen β + i⋅sen α cos β - sen α⋅sen β

A parte real desta expressão é aquela que não é multiplicada pela unidade imaginária "i":

cos α⋅cos β - sen α. sin β

A parte imaginária, portanto, é:

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)

Para que duas expressões complexas sejam iguais, a parte real de uma deve ser igual à parte real da outra. O mesmo acontece com as peças imaginárias.

Pegamos o resultado salvo e comparamos com este:

cos α. cos β - sen α. sin β = cos (α + β)

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sin (α + β)

sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)

- Fórmulas para ângulo duplo

Nas fórmulas anteriores, pegamos β = α e desenvolvemos:

sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sen α ⋅ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sen α⋅sen α = cos² α - pecado ² α

tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tg² α

Se na segunda expressão substituirmos cos² α = 1 - pecado² α é obtido:

cos 2 α = cos² α - (1- cos² α) = 2 cos² α -1

- Fórmulas para o meio ângulo

Nesta última expressão, vamos substituir α / 2 por α, o seguinte permanece:

cos α = 2 cos²(α/2) -1

Resolvendo para:

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Mostre que:

Vamos trabalhar o termo esquerdo algebricamente para que se pareça com o direito. Uma vez que sin x aparece no termo certo, a primeira etapa é expressar cos²x em termos de sen x de modo que tudo esteja em termos da mesma razão trigonométrica:

Então, fator 1 - pecado² x porque é uma diferença de quadrados perfeitos. Para fazer isso, ele limpa a identidade fundamental:

cos²x = 1 - pecado² x

1 - sen² x = (1- sen x) (1 + senx)

E a fatoração é substituída na expressão original:

O termo (1-senx) é simplificado e uma igualdade permanece:

1 + sen x = 1 + senx

- Exercício 2

Resolva a seguinte equação trigonométrica e dê a solução para valores entre 0 e 360º:

tg x + seg² x = 3

Solução

No termo da esquerda há duas relações trigonométricas, portanto é necessário reduzir tudo a um, para poder resolver o desconhecido. O termo sec² x é expresso por meio de uma das identidades pitagóricas:

seg² α = 1 + tg² α

Ao substituir na equação permanece:

tg x + 1 + tg² x = 3

Reorganizando os termos:

tg² x + tg x + 1 = 3

Esta equação é resolvida fazendo a mudança da variável:

tg x = u

ou² + u + 1 - 3 = 0 → u² + u - 2 = 0

Esta equação quadrática é facilmente resolvida pela fatoração:

(u +2) (u-1) = 0

Portanto você₁ = -2 e u₂ = 1, que é equivalente a:

tg x₁ = -2

tg x₂ = 1

Finalmente:

x₁ = arctg (-2) = 296,6º

x₂= arctg (1) = 45º

Referências

Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
Figuera, J. 1999. Mathematics. 1ª Diversificado. Edições Colegiadas Bolivarianas.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 4.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Wikipedia. Identidades e fórmulas trigonométricas. Recuperado de: es.wikipedia.org.
Zapata, F. 4 maneiras de resolver uma equação quadrática. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.