Triângulos oblíquos: características, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o triângulos oblíquos São aqueles que não possuem ângulo reto, portanto nenhum de seus ângulos internos é igual a 90º. Portanto, um triângulo oblíquo pode ser ângulo agudo ou obtuso.

No primeiro caso, os ângulos internos do triângulo são agudos ou iguais: menores que 90º, enquanto no segundo há sempre um ângulo maior que 90º, ou seja, obtuso. Vamos ver um exemplo de cada na figura a seguir:

Para encontrar os comprimentos dos lados e as medidas dos ângulos internos desta classe de triângulos, na ausência de ângulos retos não é possível aplicar o teorema de Pitágoras.

Porém, existem alternativas para resolver o triângulo: os teoremas do cosseno e do seno e o fato da soma dos ângulos internos ser igual a 180º.

Exemplos de triângulos oblíquos

Guiando-nos pela figura 1, podemos reconhecer facilmente triângulos oblíquos por dois critérios que daremos a seguir.

Triângulo agudo

Seja o triângulo dos lados a, bec o ângulo oposto ao lado a.

Se o quadrado do lado a oposto ao ângulo agudo α, é Menos do que a soma dos quadrados dos lados restantes, o triângulo é ângulo agudo. Algebricamente:

para² <b² + c²; α < 90º

O conhecido triângulo equilátero, aquele que tem seus três lados na mesma medida, é agudo e, portanto, oblíquo, pois seus ângulos internos são iguais e medem 60º.

Triângulo obtuso

Por outro lado, se o quadrado do lado oposto para o ângulo obtuso α é superior do que a soma dos quadrados dos outros dois, estamos na presença de um triângulo obtuso. Portanto:

para² > b² + c²; α > 90º

Por exemplo, um triângulo cujos ângulos internos são 105º, 60º e 15º é um triângulo obtuso oblíquo. Observe que 105º + 60º + 15º = 180º.

Teoremas do seio e cosseno

Para resolver triângulos oblíquos, ou seja, para encontrar as medidas de todos os seus lados e todos os seus ângulos, os teoremas de seno e cosseno são necessários.

Sejam a, b e c os lados de um triângulo e α, β e γ os seus ângulos internos. Então:

Teorema do seno

O teorema do seno afirma o seguinte:

Onde α é o ângulo oposto ao lado a, β é o ângulo oposto ao lado b e γ é o ângulo oposto ao lado c.

Equivalentemente:

Escolhemos aplicar o teorema do seno quando vamos resolver um triângulo para o qual são conhecidos mais ângulos do que lados.

Teorema de Coseno

De acordo com o teorema do cosseno:

c² = a² + b² - 2⋅a⋅b⋅cos γ

Novamente o ângulo γ está na frente do lado c. Também podemos escrever expressões equivalentes para os lados a e b, como segue:

para² = b² + c² - 2⋅b⋅c⋅cos α

b² = a² + c² - 2⋅a⋅c⋅cos β

O teorema do cosseno é preferencialmente aplicado quando o valor de dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos. Da mesma forma, uma vez que os três lados de um triângulo são conhecidos, o teorema nos permite calcular o cosseno do ângulo entre dois deles.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Verifique se o triângulo cujos lados medem 20, 10 e 12 unidades arbitrárias é obtuso.

Solução

Não conhecemos nenhum dos ângulos internos, mas levando em consideração o critério usado para reconhecer triângulos obtusos, podemos colocar as desigualdades com os quadrados dos lados para ver se é verdade.

Primeiro encontramos os quadrados de cada lado:

20² = 400

10² = 100

12² = 144

E vemos que de fato: 400> 100 + 144, já que 400> 244. Portanto, o triângulo contém um ângulo maior que 90º, localizado no lado oposto ao que mede 20. Conseqüentemente, esse triângulo, além de ser oblíquo, também é obtuso.

- Exercício 2

Dado o triângulo oblíquo mostrado na Figura 2, cujas medidas são dadas em unidades arbitrárias, determine:

a) O valor de x. É um triângulo agudo ou obtuso?

b) Os restantes ângulos internos do triângulo

c) Perímetro

d) Área.

Solução para

São conhecidos dois lados adjacentes do triângulo, cujas medidas são 38,0 e 45,8 e o ângulo entre eles, que é 30º, portanto o teorema do cosseno é de aplicação imediata:

x² = 38.0² + 45.8² - 2 x 38,0 x 45,8 x cos 30º = 527,18

Portanto:

x = (527,18)^1/2 = 22.96

O desenho sugere que α> 90º e o triângulo é tanto obtuso quanto oblíquo. Para verificar isso, encontramos os quadrados dos lados, como foi feito no exercício anterior:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

45.8² = 2097.64

O ângulo α é maior do que 90º se o quadrado do lado oposto for: 45,8²é maior do que a soma dos quadrados dos outros lados, que é 22,96² + 38.0².

Vamos ver se acontece assim:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

Em efeito:

2097.64 >1971.2

Portanto, o ângulo α é maior que 90º.

Solução b

Agora podemos aplicar o teorema do seno para encontrar um dos ângulos ausentes. Vamos aumentá-lo para o ângulo β:

sen 30º / 22,96 = sen β / 38

sin β = 38 x (sin 30º / 22,96) = 0,8275

β = arcsen (0,8275) = 55,84º

O ângulo ausente pode ser encontrado sabendo-se que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. Portanto:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Se preferir, você também pode usar o teorema do cosseno para encontrar o cosseno do ângulo entre quaisquer dois lados adjacentes. Uma vez obtida, a função arco cosseno é usada para determinar o ângulo.

Os resultados podem divergir ligeiramente das casas decimais, dependendo dos arredondamentos realizados.

Solução c

O perímetro P é o contorno da figura, equivalente à soma das medidas dos três lados:

P = 22,96 + 38,00 + 45,80 = 106,76 unidades arbitrárias.

Solução d

A fórmula para calcular a área de qualquer triângulo é:

A = (1/2) x base x altura

Precisamos escolher um dos lados como base e determinar a altura. Por exemplo, escolhendo o lado que mede 45,8, plotamos a altura h até o vértice A, que é a linha vermelha na figura 2b.

Ao fazer isso, dividimos o triângulo original em dois triângulos retângulos, ambos com h como uma perna em comum. Qualquer um funciona, já que conhecemos um lado e um ângulo agudo.

Vamos tirar aquele com hipotenusa igual a 38, uma perna que mede h, que é a altura desejada e o ângulo agudo igual a 30º.

Com a ajuda das relações trigonométricas do ângulo agudo de 30º, determinamos o valor de h:

sen 30º = perna oposta a 30º / hipotenusa = h / 38

h = 38 x sen 30º = 19

Portanto:

A = (1/2) x 45,8 x 19 = 435,1 unidades arbitrárias de área.

Poderíamos ter escolhido outro dos lados como base, por exemplo lado 38, neste caso, a altura h é diferente, pois outro triângulo retângulo é formado, mas o resultado da área é o mesmo. Resta como um exercício para o leitor verificá-lo.

- Exercício 3

Dado um triângulo ABC tal que A = 45º, B = 60º e a = 12 cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Usando isso a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º temos:

C = 180º-45º-60º = 75º.

Os três ângulos já são conhecidos. A lei dos senos é então usada para calcular os dois lados ausentes.

As equações que surgem são 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

A partir da primeira igualdade, podemos resolver para "b" e obter que:

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

Você também pode resolver para "c" e obter:

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

- Exercício 4

Dado o triângulo ABC tal que A = 60º, C = 75º eb = 10cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Como no exercício anterior, B = 180º-60º-75º = 45º. Além disso, usando a lei dos senos temos que a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), de onde se obtém que a = 10 * sin (60º) / sin (45º ) = 5√6 ≈ 12,247 cm e c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

- Exercício 5

Dado o triângulo ABC tal que a = 10cm, b = 15cm e C = 80º, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Neste exercício, apenas um ângulo é conhecido, portanto, não pode ser iniciado como nos dois exercícios anteriores. Além disso, a lei dos senos não pode ser aplicada porque nenhuma equação pôde ser resolvida.

Portanto, passamos a aplicar a lei dos cossenos. Segue-se então que:

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

Portanto, c ≈ 16,51 cm. Agora, conhecendo os 3 lados, a lei dos senos é usada e obtém-se que:

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Portanto, a resolução de B resulta em sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, o que implica que B ≈ 63,38º.

Agora, pode-se obter que A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

- Exercício 6

Os lados de um triângulo oblíquo são a = 5cm, b = 3cm ec = 7cm. Encontre os ângulos do triângulo.

Solução

Novamente, a lei dos senos não pode ser aplicada diretamente, uma vez que nenhuma equação serviria para obter o valor dos ângulos.

Usando a lei do cosseno, temos que c² = a² + b² - 2ab cos (C), a partir do qual, ao resolver, temos que cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 e, portanto, C = 120º.

Agora podemos aplicar a lei dos senos e assim obter 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), a partir do qual podemos resolver para B e obter que sin (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, de modo que B = 21,79º.

Finalmente, o último ângulo é calculado usando que A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Referências

Clemens, S. Geometry with Applications. Addison Wesley.
Ibáñez, P. 2010. Matemática III. Cengage Learning.
Jiménez, R. Mathematics II: Geometria e Trigonometria. 2ª Edição. Pearson.
Matemática para você. Triângulo obtuso. Recuperado de: matematicasparaticharito.wordpress.com.
Stewart, J. 2007. Precalculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.