Função logarítmica: propriedades, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o função logarítmica é uma relação matemática que associa cada número real positivo x com seu logaritmo Y em uma base para. Essa relação atende aos requisitos para ser função: cada elemento x pertencente ao domínio possui uma imagem única.

Portanto:

f (x) = y = log_para x,com a> 0 e diferente de 1.

As principais propriedades da função logarítmica são:

-Seu domínio é todo real maior que 0, não incluindo 0. Em outras palavras, não há logaritmo de 0 ou números negativos em nenhuma base. Na forma de intervalo:

Sol _F = (0, ∞+)

-O logaritmo de um número pode ser negativo, positivo ou 0, de modo que seu intervalo ou intervalo seja:

Rgo _F= (-∞, ∞+)

-A função logarítmica está sempre aumentando para a> 1 e diminuindo para a <1.

-O inverso def (x) = log_para x é a função exponencial.

Na verdade, a função logarítmica baseada em, é a função inversa da função potencial:

F^-1(x) = a^Y

Já que o logaritmo na base para de um número x, É o número Y para o qual a base deve ser elevada para para obter x.

-O logaritmo da base é sempre 1. Assim, o gráfico de f (x) = log_para x sempre cruza o eixo x no ponto (1,0)

-A função logarítmica é transcendente e não pode ser expresso como um polinômio ou como um quociente destes. Além do logaritmo, este grupo inclui as funções trigonométricas e exponenciais, entre outras.

Exemplos

A função logarítmica pode ser estabelecida usando várias bases, mas as mais utilizadas são 10 e e, Onde e é o número de Euler igual a 2,71828….

Ao usar a base 10, o logaritmo é chamado de logaritmo decimal, logaritmo comum, logaritmo de Briggs ou apenas logaritmo simples.

E se o número e for usado, ele será chamado de logaritmo natural, em homenagem a John Napier, o matemático escocês que descobriu os logaritmos.

A notação usada para cada um é a seguinte:

- Logaritmo decimal: log₁₀ x = log x

- Logaritmo do Egito: ln x

Quando se pretende utilizar outra base, é absolutamente necessário indicá-la como subscrito, pois o logaritmo de cada número é diferente dependendo da base a ser utilizada. Por exemplo, se forem logaritmos na base 2, escreva:

y = log₂ x

Vejamos o logaritmo do número 10 em três bases diferentes, para ilustrar este ponto:

log 10 = 1

ln 10 = 2,30259

registro₂ 10 = 3.32193

Calculadoras comuns trazem apenas logaritmos decimais (função log) e logaritmo natural (função ln). Na Internet existem calculadoras com outras bases. Em qualquer caso, o leitor pode verificar, com sua ajuda, que os valores acima são verdadeiros:

10¹ = 10

e^2.3026 = 10.0001

2^3.32193 = 10.0000

As pequenas diferenças decimais são devidas ao número de casas decimais tomadas no cálculo do logaritmo.

As vantagens dos logaritmos

Entre as vantagens de usar logaritmos está a facilidade que eles fornecem para trabalhar com grandes números, usando seu logaritmo em vez do número diretamente.

Isso é possível porque a função de logaritmo cresce mais lentamente conforme os números aumentam, como podemos ver no gráfico.

Portanto, mesmo com números muito grandes, seus logaritmos são muito menores, e manipular pequenos números é sempre mais fácil.

Além disso, os logaritmos têm as seguintes propriedades:

–produtos: log (a.b) = log a + log b

–Quociente: log (a / b) = log a - log b

–Poder: log a^b = b.log a

E, dessa forma, os produtos e quocientes tornam-se adições e subtrações de números menores, enquanto o empoderamento se torna um produto simples, embora o poder seja alto.

É por isso que os logaritmos nos permitem expressar números que variam em faixas muito grandes de valores, como a intensidade do som, o pH de uma solução, o brilho das estrelas, a resistência elétrica e a intensidade dos terremotos na escala Richter.

Vejamos um exemplo do tratamento das propriedades dos logaritmos:

Exemplo

Encontre o valor de x na seguinte expressão:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Resposta

Temos aqui uma equação logarítmica, já que a incógnita está no argumento do logaritmo. Isso é resolvido deixando um único logaritmo em cada lado da igualdade.

Começamos colocando todos os termos que contêm "x" à esquerda da igualdade e aqueles que contêm apenas números à direita:

log (5x + 1) - log (2x-1) = 1

À esquerda temos a subtração de dois logaritmos, que podem ser escritos como o logaritmo de um quociente:

log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1

Porém, à direita está o número 1, que podemos expressar como log 10, como vimos anteriormente. Então:

log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10

Para que a igualdade seja cumprida, argumentos dos logaritmos devem ser iguais:

(5x + 1) / (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 15/11

Exercício de aplicação: a escala Richter

Em 1957, um terremoto ocorreu no México, cuja magnitude foi de 7,7 na escala Richter. Em 1960, outro terremoto de maior magnitude ocorreu no Chile, de 9,5.

Calcule quantas vezes o terremoto no Chile foi mais intenso do que no México, sabendo que a magnitude M_R na escala Richter é dada pela fórmula:

M_R = log (10⁴ EU)

Solução

A magnitude de um terremoto na escala Richter é uma função logarítmica. Vamos calcular a intensidade de cada terremoto, já que temos as magnitudes Richter. Vamos fazer isso passo a passo:

–México: 7,7 = log (10⁴ EU)

Como o inverso da função logaritmo é o exponencial, aplicamos isso a ambos os lados da igualdade com a intenção de resolver para I, que se encontra no argumento do logaritmo.

Como eles são logaritmos decimais, a base é 10. Então:

10 ^7.7 = 10⁴ Eu

A intensidade do terremoto no México foi:

Eu_M= 10 ^7.7 / 10⁴ = 10^3.7

–Chile: 9,5 = log (10⁴ EU)

O mesmo procedimento nos leva à intensidade do terremoto chileno I_CH:

Eu_CH = 10 ^9.5 / 10⁴ = 10^5.5

Agora podemos comparar as duas intensidades:

Eu_CH / EU_M = 10^5.5 / 10^3.7 = 10^1.8 = 63.1

Eu_CH = 63,1. Eu_M

O terremoto no Chile foi cerca de 63 vezes mais intenso do que no México. Como a magnitude é logarítmica, ela cresce mais lentamente do que a intensidade, portanto, uma diferença de 1 na magnitude significa uma amplitude 10 vezes maior da onda sísmica.

A diferença entre as magnitudes de ambos os terremotos é 1,8, portanto, poderíamos esperar uma diferença de intensidades mais próxima de 100 do que de 10, como realmente aconteceu.

Na verdade, se a diferença fosse exatamente 2, o terremoto chileno teria sido 100 vezes mais intenso que o mexicano.

Referências

Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Ano diversificado. Edições CO-BO.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.