Teorema de Bolzano: Explicação, aplicações e exercícios - Ciência - 2023

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o Teorema de Bolzano estabelece que se uma função é contínua em todos os pontos de um intervalo fechado [a, b] e é verdade que as imagens de “a” e “b” (sob a função) têm sinais opostos, então haverá pelo menos um ponto “C” no intervalo aberto (a, b), de forma que a função avaliada em “c” seja igual a 0.

Este teorema foi enunciado pelo filósofo, teólogo e matemático Bernard Bolzano em 1850. Este cientista, nascido no que hoje é a República Tcheca, foi um dos primeiros matemáticos da história a fazer uma prova formal das propriedades das funções contínuas.

Explicação

O teorema de Bolzano também é conhecido como teorema dos valores intermediários, que ajuda a determinar valores específicos, particularmente zeros, de certas funções reais de uma variável real.

Em uma dada função f (x) continua - isto é, que f (a) e f (b) são conectados por uma curva-, onde f (a) está abaixo do eixo x (é negativo), e f (b) por acima do eixo x (é positivo), ou vice-versa, graficamente haverá um ponto de corte no eixo x que representará um valor intermediário “c”, que estará entre “a” e “b”, e o valor de f (c) será igual a 0.

Ao analisar graficamente o teorema de Bolzano, pode-se ver que para cada função contínua f definida em um intervalo [a, b], onde f (a)_*f (b) for menor que 0, haverá pelo menos uma raiz "c" dessa função dentro do intervalo (a, b).

Este teorema não estabelece o número de pontos naquele intervalo aberto, ele apenas afirma que existe pelo menos 1 ponto.

Demonstração

Para provar o teorema de Bolzano, assume-se sem perda de generalidade que f (a) <0 e f (b)> 0; assim, pode haver muitos valores entre "a" e "b" para os quais f (x) = 0, mas apenas um precisa ser mostrado.

Começamos avaliando f no ponto médio (a + b) / 2. Se f ((a + b) / 2) = 0 então a prova termina aqui; caso contrário, então f ((a + b) / 2) é positivo ou negativo.

É escolhida uma das metades do intervalo [a, b], de forma que os sinais da função avaliada nos extremos sejam diferentes. Este novo intervalo será [a1, b1].

Agora, se f avaliado no ponto médio de [a1, b1] não é zero, então a mesma operação de antes é realizada; ou seja, é escolhida metade desse intervalo de acordo com a condição dos signos. Seja este novo intervalo [a2, b2].

Se você continuar com este processo, terá duas sequências {an} e {bn}, tais que:

{an} está aumentando e {bn} está diminuindo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se a duração de cada intervalo [ai, bi] for calculada, teremos:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

….

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Portanto, o limite conforme n se aproxima do infinito de (bn-an) é igual a 0.

Usando que {an} é crescente e limitado e {bn} é decrescente e limitado, temos que existe um valor "c" tal que:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

O limite de um é "c" e o limite de {bn} também é "c". Portanto, dado qualquer δ> 0, há sempre um "n" tal que o intervalo [an, bn] está contido no intervalo (c-δ, c + δ).

Agora, deve ser mostrado que f (c) = 0.

Se f (c)> 0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é positivo em todo o intervalo (c - ε, c + ε). No entanto, como mencionado acima, há um valor "n" tal que f muda de sinal em [an, bn] e, além disso, [an, bn] está contido em (c - ε, c + ε), que o que é uma contradição.

Se f (c) <0, então como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é negativo em todo o intervalo (c - ε, c + ε); mas há um valor "n" tal que f muda de sinal em [an, bn]. Acontece que [an, bn] está contido em (c - ε, c + ε), o que também é uma contradição.

Portanto, f (c) = 0 e isso é o que queríamos provar.

Para que serve?

A partir de sua interpretação gráfica, o teorema de Bolzano é utilizado para encontrar raízes ou zeros em uma função contínua, através da bissecção (aproximação), que é um método de busca incremental que sempre divide os intervalos por 2.

Em seguida, toma-se um intervalo [a, c] ou [c, b] onde ocorre a mudança de sinal, e o processo é repetido até que o intervalo seja cada vez menor, para poder se aproximar do valor desejado; ou seja, para o valor que a função torna 0.

Em resumo, para aplicar o teorema de Bolzano e assim encontrar as raízes, limitar os zeros de uma função ou dar uma solução para uma equação, as seguintes etapas são realizadas:

- É verificado se f é uma função contínua no intervalo [a, b].

- Se o intervalo não for dado, deve-se encontrar onde a função é contínua.

- É verificado se os extremos do intervalo dão sinais opostos quando avaliados em f.

- Se nenhum sinal oposto for obtido, o intervalo deve ser dividido em dois subintervalos usando o ponto médio.

- Avalie a função no ponto médio e verifique se a hipótese de Bolzano é atendida, onde f (a) _* f (b) <0.

- Dependendo do sinal (positivo ou negativo) do valor encontrado, o processo é repetido com um novo subintervalo até que a hipótese acima seja satisfeita.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine se a função f (x) = x² - 2, tem pelo menos uma solução real no intervalo [1,2].

Solução

Temos a função f (x) = x² - 2. Por ser polinomial, significa que é contínuo em qualquer intervalo.

Pede-se que determine se tem uma solução real no intervalo [1, 2], então agora só é necessário substituir as extremidades do intervalo na função para saber o sinal destas e saber se cumprem a condição de serem diferentes:

f (x) = x² – 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativo)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positivo)

Portanto, sinal de f (1) ≠ sinal f (2).

Isso garante que haja pelo menos um ponto "c" pertencente ao intervalo [1,2], no qual f (c) = 0.

Neste caso, o valor de “c” pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

x² – 2 = 0

x = ± √2.

Assim, √2 ≈ 1,4 pertence ao intervalo [1,2] e cumpre que f (√2) = 0.

Exercício 2

Mostre que a equação x⁵ + x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução real.

Solução

Vamos primeiro notar que f (x) = x⁵ + x + 1 é uma função polinomial, o que significa que é contínua em todos os números reais.

Neste caso, nenhum intervalo é dado, então os valores devem ser escolhidos intuitivamente, de preferência próximos de 0, para avaliar a função e encontrar as mudanças de sinal:

Se você usar o intervalo [0, 1], você deve:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Como não há mudança de sinal, o processo se repete com outro intervalo.

Se você usar o intervalo [-1, 0], você deve:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1 > 0.

Neste intervalo há uma mudança de sinal: sinal de f (-1) ≠ sinal de f (0), o que significa que a função f (x) = x⁵ + x + 1 tem pelo menos uma raiz real “c” no intervalo [-1, 0], tal que f (c) = 0. Em outras palavras, é verdade que x⁵ + x + 1 = 0 tem uma solução real no intervalo [-1,0].

Referências

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