Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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As funções trigonométricas da variável real fazer corresponder a qualquer ângulo (expresso em radianos), uma razão trigonométrica, que pode ser seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Desta forma, temos as seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.

As funções trigonométricas para ângulos entre 0 e 2π são definidas com o auxílio do círculo unitário, de raio 1 e cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto (0,0).

Podemos localizar qualquer ponto P de coordenadas (x, y) nesta circunferência.

O segmento que une a origem com P, juntamente com os respectivos segmentos que unem as projeções de P nos eixos das coordenadas, formam um triângulo retângulo, cujas relações trigonométricas são conhecidas como quocientes entre os lados do triângulo. Então:

sen θ = perna oposta / hipotenusa
cos θ = perna adjacente / hipotenusa
tg θ = perna oposta / perna adjacente

E agora os motivos que são inversos dos anteriores:

sec θ = hipotenusa / perna adjacente
cosec θ = hipotenusa / perna oposta
ctg θ = perna adjacente / perna oposta

No círculo unitário, a hipotenusa de qualquer triângulo é igual a 1 e as pernas valem x e y, então:

sin θ = y

cos θ = x

Desta forma, as funções seno e cosseno sempre adquirem valores entre -1 e 1, enquanto o resto:

tg θ = y / x

cosec θ = 1 / y

seg θ = 1 / x

Eles não são definidos quando x ou Y valem 0.

Funções trigonométricas no plano cartesiano

Como veremos a seguir, as funções trigonométricas são caracterizadas por serem periódicas. Portanto, eles não são bijetivos, exceto em um domínio restrito.

Função f (x) = sin x

Começando no círculo trigonométrico no ponto P (1,0), o ângulo é de 0 radianos. Então, o raio gira no sentido anti-horário e a função sen x cresce gradualmente até atingir π / 2 radianos (90º), equivalente a aproximadamente 1.571 radianos.

Lá, ele atinge o valor y = 1 e então diminui até chegar a zero em π radianos (180 °). Posteriormente, diminui ainda mais, pois o valor torna-se negativo até atingir -1 quando o ângulo é de 3π / 2 radianos (270 °).

Finalmente, aumenta novamente até voltar a zero em 360 °, onde tudo começa novamente. Isso faz com que y = sin x a função periódica do período 2π, portanto a função seno não é bijetiva.

Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao ponto (0,0), portanto, a função é ímpar.

Então o gráfico de y = sin x:

A seção em vermelho é o primeiro período. Os ângulos negativos também são considerados, uma vez que o raio do círculo trigonométrico pode girar no sentido horário.

Domínio de sin x = Todos em reais.

Alcance ou caminho de sen x = [-1,1]

Função f (x) = cos x

No ponto P (1,0) a função cosseno vale 1 e a partir daí diminui, chegando a 0 quando o ângulo é π / 2. Ele continua diminuindo e assume valores negativos, até atingir -1 no ângulo π.

Então, começa a aumentar gradualmente até atingir 0 em 3π / 2 e retorna a 1 quando o raio deu uma volta completa. A partir daí, o ciclo se repete, pois o cos x é periódico e também é par (simétrico em torno do eixo vertical).

A forma da função cosseno é a mesma da função seno, exceto que eles são deslocados π / 2 um em relação ao outro.

Domínio do cos x = Todos em reais.

Alcance de custo x ou viagem = [-1,1]

Funções trigonométricas descontínuas

As funções tg x, ctg x, sec x e cosec x são descontínuas, pois são quocientes entre seno e cosseno, ou o inverso. Visto que estes são 0 em alguns ângulos, quando aparecem no denominador, tornam a função descontínua.

E como seno e cosseno são funções periódicas, as funções tg x, ctg x, sec x, cosseno x também são periódicas.

Função tangente f (x) = tg x

Para a função tangente, os valores de descontinuidade são: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Nesse caso, a função assume valores muito grandes ou muito pequenos. Em geral, isso acontece para todos os múltiplos de π da forma (2n + 1) π / 2, tanto positivos quanto negativos, com n = 0, 1, 2 ...

Portanto:

Domínio Tg x: D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z}

Alcance ou viagem Tg x: Tudo real.

Observe que a função f (x) = tg x se repete entre - π / 2 e + π / 2, portanto seu período é π. Além disso, é simétrico em relação à origem.

Função cotangente f (x) = ctg x

Para esta função, os valores de descontinuidade ocorrem em 0, ± π, ± 2π…, ou seja, os múltiplos inteiros de π.

Como a função tangente, a função cotangente é periódica do período π. Para ela é verdade que:

Domínio Ctg x: D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z}

Ctg x alcance ou viagem: Tudo real.

Função secante f (x) = sec x

A função sec x tem pontos de descontinuidade em ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 ..., onde cos x = 0. Também é periódica com período π e também é observado no gráfico que a função nunca assume valores no intervalo (-1,1)

Domínio do s. X: D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z}

Alcance ou viagem Sec x: Todos em reais exceto (-1,1)

Função cossecante f (x) = cosec x

É semelhante à função secante, embora seja deslocada para a direita, portanto os pontos de descontinuidade são 0, ± π, ± 2π e todos os múltiplos inteiros de π. Também é periódico.

Cosec domínio x: D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z}

Faixa de colheita ou caminho x: Todos em reais exceto (-1,1)

Exercício resolvido

Um homem de 6 pés de altura projeta uma sombra S cujo comprimento é dado por:

S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │

Com S em pés e t o número de horas desde as 6h. Qual é o comprimento da sombra às 8h, 12h, 14h e 17h45?

Solução

Devemos avaliar a função para cada um dos valores dados, note que deve assumir o valor absoluto, já que o comprimento da sombra é positivo:

- Às 8h, 2 horas passaram das 6h, portanto, t = 2 e S (t) é:

S (2) = 6 │cote (π.2 / 12) │ pés = 6 │cote (π / 6) │ pés = 10,39 pés.

- Quando é 12 N, t = 6 horas se passaram, portanto:

S (6) = 6 │cote (π.6 / 12) │ pés = 6 │cote (π / 2) │ pés = 0 pés. (Nesse momento, o Sol cai verticalmente sobre a cabeça da pessoa).

- Às 14h, t = 8 horas se passaram:

S (8) = 6 │cot (π.8 / 12) │ft = 6 │cot (2π / 3) │ft = 3,46 pés.

- Quando são 17h45, 11,75 horas se passaram desde as 6h, então:

S (11,75) = 6 │cot (π x 11,75 / 12) │pés = 91,54 pés. Neste momento, as sombras estão ficando mais longas.

O leitor pode calcular o tempo em que a sombra da pessoa se iguala à sua altura?

Referências

Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
Figuera, J. 1999. Mathematics. 1ª Diversificado. Edições Colegiadas Bolivarianas.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 4.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.