Heptadecágono: propriedades, diagonais, perímetro, área - Ciência - 2023

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o heptadecágono é um polígono regular com 17 lados e 17 vértices. Sua construção pode ser feita no estilo euclidiano, ou seja, utilizando apenas a régua e o compasso. Foi o grande gênio matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855), com apenas 18 anos, que encontrou o procedimento para sua construção em 1796.

Ao que parece, Gauss sempre foi muito inclinado por esta figura geométrica, a tal ponto que desde o dia em que descobriu a sua construção decidiu ser matemático. Também é dito que ele queria que o heptadecágono fosse gravado em sua lápide.

Gauss também encontrou a fórmula para determinar quais polígonos regulares têm a possibilidade de serem construídos com régua e compasso, já que alguns não possuem construção euclidiana exata.

Características do heptadecágono

Quanto às suas características, como qualquer polígono, a soma dos ângulos internos é importante. Em um polígono regular de n lados, a soma é dada por:

Sa (n) = (n -2) * 180º.

Para o heptadecágono, o número de lados n isto é 17, o que significa que a soma de seus ângulos internos é:

Sa (17) = (17 - 2) * 180º = 15 * 180º = 2700º.

Essa soma, expressa em radianos, tem a seguinte aparência:

Sa (17) = (17 - 2) * π = 15 * π = 15π

A partir das fórmulas acima, pode ser facilmente deduzido que cada ângulo interno de um heptadecágono tem uma medida exata α dada por:

α = 2700º / 17 = (15/17) π radianos

Conclui-se que o ângulo interno é aproximadamente:

α ≈ 158,824º

Diagonais e perímetro

Diagonais e perímetro são outros aspectos importantes. Em qualquer polígono, o número de diagonais é:

D = n (n - 3) / 2 e no caso do heptadecágono, como n = 17, é então que D = 119diagonais.

Por outro lado, se o comprimento de cada lado do heptadecágono for conhecido, então o perímetro do heptadecágono regular é encontrado simplesmente adicionando 17 vezes esse comprimento, ou o que é equivalente a 17 vezes o comprimento d Em cada lado:

P = 17 d

Perímetro do heptadecágono

Às vezes, apenas o raio é conhecido r do heptadecágono, por isso é necessário desenvolver uma fórmula para este caso.

Para tanto, o conceito de apótema. O apótema é o segmento que vai do centro do polígono regular ao ponto médio de um lado. O apótema relativo a um lado é perpendicular a esse lado (veja a figura 2).

Além disso, o apótema é a bissetriz do ângulo com o vértice central e os lados em dois vértices consecutivos do polígono, o que permite encontrar uma relação entre o raio r e o lado d.

Se é chamado β para o ângulo central CORÇA e levando em consideração que o apotema OJ é bissetriz que tem EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), de onde há uma relação para encontrar o comprimento d do lado de um polígono conhecido, seu raio r e seu ângulo central β:

d = 2 r Sen (β / 2)

No caso do heptadecágono β =360º/17 Então você tem:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Por fim, obtém-se a fórmula para o perímetro do heptadecágono, conhecido seu raio:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

O perímetro de um heptadecágono é próximo ao perímetro da circunferência que o circunda, mas seu valor é menor, ou seja, o perímetro do círculo circunscrito é Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Área

Para determinar a área do heptadecágono, vamos nos referir à Figura 2, que mostra os lados e apótema de um polígono regular de n lados. Nesta figura o triângulo EOD tem uma área igual à base d (lado do polígono) vezes a altura para (apótema do polígono) dividido por 2:

Área EOD = (d x a) / 2

Tão conhecido o apótema para do heptadecágono e do lado d sua área é:

Área do heptadecágono = (17/2) (d x a)

Área dada ao lado

Para obter uma fórmula para a área do heptadecágono conhecendo o comprimento de seus dezessete lados, é necessário obter uma relação entre o comprimento do apótema para e o lado d.

Com referência à figura 2, a seguinte relação trigonométrica é obtida:

Castanho (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, ser β para o ângulo central CORÇA. Então o apótema para pode ser calculado se o comprimento for conhecido d do lado do polígono e do ângulo central β:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Se essa expressão agora for substituída pelo apótema, na fórmula para a área do heptadecágono obtida na seção anterior, temos:

Área do heptadecágono = (17/4) (d²) Cotan (β / 2)

Ser β =360º/17 para o heptadecágono, então finalmente temos a fórmula desejada:

Área do heptadecágono = (17/4) (d²) Cotan (180º / 17)

Área dada o raio

Nas seções anteriores, uma relação foi encontrada entre o lado d de um polígono regular e seu raio r, sendo esta relação a seguinte:

d = 2 r Sen (β / 2)

Esta expressão para d é introduzido na expressão obtida na seção anterior para a área. Caso sejam feitas as substituições e simplificações relevantes, obtém-se a fórmula que permite o cálculo da área do heptadecágono:

Área do heptadecágono = (17/2) (r²) Sen (β) = (17/2) (r²) Sen (360º / 17)

Uma expressão aproximada para a área é:

Área do heptadecágono = 3,0706 (r²)

Como esperado, esta área é ligeiramente menor do que a área do círculo que circunscreve o heptadecágono. PARA_circ = π r² ≈ 3,1416 r². Para ser mais preciso, é 2% menor do que seu círculo circunscrito.

Exemplos

Exemplo 1

Para que um heptadecágono tenha lados de 2 cm, que valor deve ter o raio e o diâmetro do círculo circunscrito? Encontre também o valor do perímetro.

Para responder à pergunta, é necessário lembrar a relação entre o lado e o raio de um polígono regular de n lados:

d = 2 r Sen (180º / n)

Para o heptadecágono n = 17, pelo que d = 0,3675 r, isto é, o raio do heptadecágono é r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm ou

10,8844 cm de diâmetro.

O perímetro de um heptadecágono lateral de 2 cm é P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Exemplo 2

Qual é a área de um heptadecágono regular com 2 cm de lado?

Devemos nos referir à fórmula mostrada na seção anterior, que nos permite encontrar a área de um heptadecágono quando ele tem o comprimento d do seu lado:

Área do heptadecágono = (17/4) (d²) / Castanho (180º / 17)

Substituindo d = 2 cm na fórmula acima, você obtém:

Área = 90,94 cm

Referências

C. E. A. (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. University of Medellin.
Campos, F., Cerecedo, F. J. (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de educação de referência.
Hendrik, V. (2013). Polígonos generalizados. Birkhäuser.
IGER. (s.f.). Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e Aplicações (Décima Edição). Pearson Education.
Patiño, M. (2006). Matemática 5. Editorial Progreso.
Sada, M. Polígono regular de 17 lados com régua e compasso. Recuperado de: geogebra.org
Wikipedia. Heptadecágono. Recuperado de: es.wikipedia.com