Qual é a diretriz? (Geometria) - Ciência - 2023

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o diretriz na geometria, consiste em uma curva, superfície ou volume que permanece fixo e determina a forma como um objeto geométrico é formado. Por exemplo, uma linha estabelece outras curvas, como cônicas e superfícies de revolução, como o cilindro circular direito.

A curva de direção também pode ser um círculo. Um cilindro circular reto pode ser formado deixando fixa uma circunferência diretiva de raio R.

A circunferência, que está no plano desenhado na figura, determina a forma da superfície curva do cilindro circular direito, que é gerada ao girar a linha em torno dele, chamada linha geradora.

Se a curva de direção não é um círculo, mas outra curva, outros tipos de cilindro são gerados, como o cilindro elíptico, cuja diretriz é uma elipse.


Um círculo também pode servir de diretriz para gerar outra curva, como é o caso da epitrocoide, uma curva no plano gerada por um ponto, que por sua vez está em uma circunferência menor que rola sem deslizar, em torno da diretriz.

É mais fácil apreciá-lo visualmente por meio da seguinte animação:

A curva de direção em superfícies cilíndricas

As superfícies cilíndricas são classificadas de acordo com sua curva-guia em cilindros:

-Circulares

-Ellipticals

-Parabic

-Hiperbólico

Quando uma superfície cilíndrica tem uma diretriz que se encontra em um plano perpendicular ao da linha da geratriz, a equação dessa superfície é a mesma que a equação da diretriz.

Os cilindros pertencem ao grupo de superfícies quádricas, cuja equação é de segundo grau com três variáveis. A forma geral é:


Machado2 + Por2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

Onde os coeficientes A, B, C ... são números reais.

Os cilindros são os corpos geométricos tridimensionais mais comuns e úteis que podem ser encontrados, especialmente os cilindros circulares retos, mas os outros tipos de cilindros descritos abaixo também têm aplicações em engenharia e design.

Cilindro circular reto

Sua diretriz é uma circunferência C que fica em um plano perpendicular ao cilindro, conforme mostrado na figura 1, já que a linha da geratriz, que passa por C para formar a superfície lateral, é perpendicular a C.

A equação da circunferência C no plano xy, centrada na origem (0,0) é:

x2 + e2 = R2

Onde R, o raio da circunferência será obviamente o raio do cilindro. A altura h do cilindro se estende ao longo do eixo z, perpendicular ao plano xy.


Cilindro elíptico

A diretriz é uma elipse no plano xy centrada na origem (0,0), cuja equação é:


A geratriz é uma linha perpendicular ao plano xy, que se move ao redor da elipse para dar origem à superfície lateral. A elipse pode estar em qualquer altura z no plano xy.

Por exemplo, a equação da elipse:

4x2 + 9y2 = 36

É a curva diretiva que dá origem ao cilindro elíptico cuja equação é 4x2 + 9y2 = 36, mais z = 0. Adicionando esta última expressão, fica claro que é a superfície.

Cilindro parabólico

Neste caso, a curva de direção é uma parábola, que pode ter a forma y = x2. Assim, o cilindro é direcionado ao longo do eixo z e é formado pelo empilhamento de parábolas com vértice em (0,0) ao longo do referido eixo.

O cilindro parabólico tem aplicações em energia solar, já que alguns coletores possuem assim espelhos, por meio dos quais a luz solar é concentrada no foco. Por este ponto passa um tubo reto por onde o óleo atinge temperaturas de até 400ºC.


Cilindro hiperbólico

No cilindro hiperbólico, a equação da diretriz é a hipérbole centrada na origem:

O cilindro é formado pelo empilhamento de hipérboles ao longo do eixo z.

Superfície de revolução

A curva diretiva de uma superfície de revolução é o mesmo eixo de revolução, a linha em torno da qual gira a curva que gera a superfície.

A curva rotativa pode ter uma forma arbitrária, desta forma é gerada uma superfície como a que pode ser vista nesta animação:

Se você girar outra linha em torno da linha-guia, obterá o cilindro circular correto familiar. Da mesma forma, outras superfícies de revolução podem ser obtidas, tais como superfícies cônicas, esféricas e toroidais de revolução.


Superfície cônica

Uma superfície cônica é gerada pelo movimento de uma linha geradora que sempre passa pela curva de plano fixo ou curva-guia e pelo ponto fixo denominado vértice, que não pertence ao plano diretivo.

O vértice ou ponto divide o cone em duas partes, chamadas folhas ou ramos.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Encontre a área lateral do cilindro circular direito de 25 cm de altura, cuja curva diretriz é a circunferência de raio de 6 cm, centrado na origem.

Solução

A área lateral do cilindro é o produto do comprimento da circunferência diretiva pela altura. Se R é o raio da circunferência eh é a altura do cilindro, a área é dada por:

A = 2πR x h = 2πx 6 cm x 25 cm = 942,5 cm2

- Exercício 2

Temos a seguinte equação que corresponde a uma superfície quádrica:

x2 + e2 + 2z2 + 2xz - 2yz = 1

Indique que superfície é e qual é a equação da curva diretiva. 

Solução

Fazendo z = k, onde k é constante, obtemos:

x2 + e2 + 2k2 + 2kx - 2ky = 1

Reorganizamos os termos da seguinte forma:

(x2 + 2kx) + (e2- 2ky) = 1- 2k2

Você deve completar os quadrados em cada um dos parênteses à esquerda, para isso, k é adicionado e subtraído2, de modo a não alterar nenhum dos parênteses:

(x2 + 2kx + k2 - k2 ) + (e2 - 2ky + k2 - k2) = 1- 2k2

(x2 + 2kx + k2) - k2 + (e2- 2ky + k2) - k2 = 1- 2k2

Desta forma, permanece:

(x + k)2 + (e - k)2 = 1

Por se tratar da equação de um círculo com centro (-k, k) e raio 1, a superfície é um cilindro circular reto, também com raio 1, desde que a linha geradora seja perpendicular ao referido círculo.

Por exemplo, definindo k = 0, a equação se reduz ao círculo centrado na origem (0,0) cujo raio é 1:

x2 + e2 = 1

Referências

  1. Gaussianos. Represente superfícies em três dimensões. Recuperado de: gaussianos.com.
  2. Kindle, J. Teoria e problemas de geometria analítica. McGraw Hill. Schaum series.
  3. As superfícies como lugares geométricos. Recuperado de: algebra.frlp.utn.edu.ar.
  4. Suárez, M. Surfaces. Recuperado de: materia.unq.edu.ar.
  5. Superfícies quádricas. Recuperado de: Sistemas.fciencias.unam.mx.