Série de Fourier: aplicações, exemplos e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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As Séries de Fourier Eles consistem em um somatório de termos infinitos, que consistem em funções harmônicas, seno e cosseno, cujo argumento é um múltiplo inteiro de uma frequência fundamental.

As funções seno e cosseno são multiplicadas por coeficientes de valores, de forma que a soma seja idêntica a uma função com período T igual a duas vezes pi (2π) dividido pela frequência angular fundamental ω.

Onde ω é a frequência fundamental, que está relacionada ao período T da função f (t) através do relacionamento:

ω = 2π / T

Porque é periódico T, a função f (t) atende a esta condição:

f (t) = f (t + k T)

Onde k é um número inteiro e os coeficientes a₀ , para_n e B_n são chamados de Coeficientes de Fourier.

Importância e usos da série Fourier

O nome da série Fourier se deve ao fato de seu descobridor ter sido o matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier, que as publicou entre 1807 e 1811, quando buscava uma forma de resolver a equação do calor.

Essa descoberta foi fundamental para a Matemática, pois se uma equação diferencial tem uma solução particular harmônica, então é possível chegar à solução geral sobrepondo-as ou adicionando-as.

Os coeficientes de Fourier de uma função periódica, também chamados sinal, são o espectro disso.

Portanto, o espectro é o conjunto de frequências que constituem um sinal caracterizado pela amplitude de cada frequência, que corresponde aos valores dos coeficientes de Fourier.

Os sistemas de compressão de sinais ou formas de onda de áudio e vídeo basicamente o que fazem é salvar os coeficientes de Fourier em uma memória, já que o conhecimento deles permite reconstruir o sinal original, com a vantagem de ocuparem um significativamente menos bits do que o sinal digitalizado original.

A série de Fourier de um sinal é como sua impressão digital, no sentido de que, conhecendo os coeficientes que a compõem, você sempre pode saber a qual sinal ele pertence.

Embora o uso da série de Fourier, ou sua forma mais geral, o transformada de FourierComo um método de compressão de sinal é conhecido há bastante tempo, seu uso na prática teve que esperar por processadores numéricos rápidos o suficiente para permitir que os sinais fossem comprimidos e descompactados em "tempo real".

Exemplo da série Fourier

Um exemplo de uma função f (t) e sua série de Fourier é dado abaixo.

A função é:

f (t) = {0 se 0 ≤ t <π e 1 se π ≤ t <2π}

E tem sua série de Fourier correspondente dada por:

f (t) = ½ - 2 / π⋅Sen (t) - 2 / (3π) ⋅Sen (3t) - 2 / (5π) ⋅Sen (5t) - 2 / (7π) ⋅Sen (7t) -… ..

A figura a seguir mostra a função e a soma parcial da série de Fourier:

Determinação dos coeficientes

Veja como determinar os coeficientes de Fourier:

Suponha que a função seja f (x) definida em um intervalo de t_Eu até você_Eu + T, onde T maiúsculo será o período da função. Portanto, sua série de Fourier é:

f (t) = a₀ / 2 + a₁ Cos (ω t) + a₂ Cos (2 ω t) + ... + a_n Cos (n ω t) + ... ..

…………. + B₁ Sen (ω t) + b₂ Sen (2 ω t) +… + b_n Sen (n ω t) + ……

Cálculo do termo independente

Para encontrar o termo independente integramos ambos os membros da igualdade no intervalo de definição da função:

[t_Eu , t_Eu+ T]

Portanto:

∫ f (t) dt = a₀ / 2 ∫dt + a₁ ∫Cos (ω t) dt + a₂ ∫Cos (2 ω t) dt +… + a_n ∫Cos (n ω t) dt +… ..

…………. + B₁ ∫Sen (ω t) dt + b₂ ∫Sen (2 ω t) dt +… + b_n ∫Sen (n ω t) dt + ……

Aqui, o símbolo ∫ significa integral definida de t_Eu até você_Eu + T.

A integral do primeiro termo é t, que quando avaliada em seu limite superior resulta:

t_Eu + T

Subtraindo o limite inferior t_Eu, no final das contas dá T.

Todos os outros termos são 0, porque são funções cosseno ou seno avaliadas ao longo de um período completo, conforme mostrado abaixo:

∫Cos (nω t) dt = (1 / nω) ∫Cos (nω t) d (nω t)

Lembre-se de que o símbolo ∫ significa integração entre t_Eu até você_Eu + T.

Para realizar a integração dos termos que possuem cosseno ou seno, faremos a seguinte alteração de variável:

x = ω (t - t_Eu)

Portanto, a diferencial de x, dx é igual à diferencial de d (ωt).

Então, a integral a ser realizada é:

Portanto, a integral definida avaliada em um período completo de todos os termos que contêm seno ou cosseno é 0 e o único termo diferente de zero é aquele que contém o coeficiente a₀.

Conclui-se, portanto, que o termo a₀ é calculado da seguinte forma:

Cálculo dos coeficientes a’s

Para calcular os coeficientes a's que multiplicam as funções cosseno, devemos multiplicar ambos os membros da igualdade:

f (t) = a₀ / 2 + a₁ Cos (ω t) + a₂ Cos (2 ω t) + ... + a_n Cos (n ω t) + ... ..

…………. + B₁ Sen (ω t) + b₂ Sen (2 ω t) +… + b_n Sen (n ω t) + ……

Pela função cosseno avaliada no harmônico correspondente e então passamos a aplicar a integral definida em um período completo para ambos os membros.

Por exemplo, para calcular um_m passamos a multiplicar ambos os membros por Cos (mωt):

f (t) Cos (m ω t) = a₀ / 2 Cos (m ω t) + a₁ Cos (ω t) Cos (m ω t) + a₂ Cos (2 ω t) Cos (m ω t) +… + para_n Cos (n ω t) Cos (m ω t) +… ..

…………. + B₁ Sen (ω t) Cos (m ω t) + b₂ Sen (2 ω t) Cos (m ω t) +… + b_n Sen (n ω t) Cos (m ω t) + ……

Então ele é integrado em um período completo, ou seja, no intervalo que vai de t_Eu até você_Eu + T.

A integral do termo contendo a₀ desaparece, porque m é um número inteiro e a função cosseno está sendo integrada ao longo de um período completo.

As integrais que contêm o produto Cos (n ω t) Cos (m ω t) também desaparecem sempre que n ≠ m. Apenas no caso de n = m ser o integral:

Disto conclui-se que:

Cálculo dos coeficientes b’s

Para encontrar os coeficientes b's, um procedimento semelhante é aplicado, mas desta vez ambos os membros da função iguais à série de Fourier completa são multiplicados pela função sin (m ω t).

Pelas mesmas razões já explicadas para o caso em que foi multiplicado pelo cosseno, o único termo que não se anula após a integração em um período completo é aquele em que:

n = m

E onde a integral de [Sen (m ω t)] aparece², que integrado ao longo de um período completo dá π.

Desta forma, os coeficientes b's são calculados de acordo com a seguinte fórmula:

Exercícios

- Exercício 1

Faça o cálculo dos coeficientes da função explícito

f (t) = {0 se 0 ≤ t <π e 1 se π ≤ t <2π}

Solução

Primeiro, identificamos o período T desta função como 2π, de modo que a frequência fundamental ω = 2π / T neste exemplo é igual à unidade, ou seja:

ω = 1

A função é definida no intervalo [0, 2π], portanto todas as integrações serão realizadas neste intervalo.

Então, o termo independente é calculado da seguinte forma:

Os coeficientes que multiplicam as funções cosseno são calculados desta forma:

Como pode ser visto, todos os coeficientes a's são nulos, o que acontecerá sempre que a função f (t) for ímpar.

De forma semelhante, os coeficientes b's serão calculados da seguinte forma:

- Exercício 2

Encontre os coeficientes da função correspondente à figura 1, que é:

f (t) = {-1 se 0≤ t

Solução

Como a função assume valores entre -1 e +1, podemos adivinhar que o termo independente é nulo, mas iremos calculá-lo explicitamente:

Devido ao fato de que a função tem simetria ímpar, todos os coeficientes a's que multiplicam os termos harmônicos com a função cosseno devem ser zero. Nós verificamos abaixo:

Finalmente, encontraremos os coeficientes b's que multiplicam os termos harmônicos que contêm a função seno:

A partir do qual pode ser visto que todos os termos de b com um subscrito par são 0. Os primeiros termos ímpares são:

b₁= -4 / (π); b₃= -4 / (3π); b₅= -4 / (5π); b₇= -4 / (7π) e b₉= -4/(9π)

Referências

Amidror, I. 2013. Mastering the Discrete Fourier Transform in One, Two or Multiple Dimensions: Pitfalls and Artifacts. Springer Science & Business Media.
Briggs, W. 1995. The DFT: An Owners 'Manual for the Discrete Fourier Transform. SIAM.
Chu, E. 2008. Discrete and Continuous Fourier Transforms: Analysis, Applications and Fast Algorithms. CRC Press.
Guoan Bi, Yonghong Zeng. 2012. Transformadas e Algoritmos Rápidos para Análise e Representações de Sinais. Springer Science & Business Media.
Sundararajan, D. 2003. Digital Signal Processing: Theory and Practice. World Scientific.
Wikipedia. Séries de Fourier. Recuperado de: es.wikipedia.com