Propriedade associativa: adição, multiplicação, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o propriedade associativa da soma representa o caráter associativo da operação de soma em vários conjuntos matemáticos. Nele, três (ou mais) elementos desses conjuntos estão relacionados, chamados de a, b e c, de forma que seja sempre verdadeiro:

a + (b + c) = (a + b) + c

Desta forma, garante-se que, independentemente da forma de agrupamento para efetuar a operação, o resultado é o mesmo.

Mas deve-se notar que a propriedade associativa não é sinônimo de propriedade comutativa. Ou seja, sabemos que a ordem dos adendos não altera a soma ou que a ordem dos fatores não altera o produto. Portanto, a soma pode ser escrita assim: a + b = b + a.

Porém, na propriedade associativa é diferente, pois a ordem dos elementos a serem adicionados é mantida e o que muda é a operação que se executa primeiro. O que significa que não importa adicionar primeiro (b + c) e a este resultado adicionar a, do que começar a adicionar a com b e ao resultado adicionar c.

Muitas operações importantes, como adição, são associativas, mas não todas. Por exemplo, na subtração de números reais acontece que:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Se a = 2, b = 3, c = 1, então:

2– (3 – 1) ≠ (2 – 3) – 1

0 ≠ -2

Propriedade associativa de multiplicação

Como foi feito para a adição, a propriedade associativa da multiplicação afirma que:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

No caso do conjunto de números reais, é fácil verificar que sempre é assim. Por exemplo, usando os valores a = 2, b = 3, c = 1, temos:

2 _˟(3 _˟1) = (2 _˟3)_˟1 → 2 _˟3 = 6_˟1

6 = 6

Os números reais cumprem a propriedade associativa de adição e multiplicação. Por outro lado, em outro conjunto, como o de vetores, a soma é associativa, mas o produto vetorial ou produto vetorial não.

Aplicações da propriedade associativa de multiplicação

Uma vantagem das operações em que a propriedade associativa é cumprida é que podem ser agrupadas da maneira mais conveniente. Isso torna a resolução muito mais fácil.

Por exemplo, suponha que em uma pequena biblioteca haja 3 estantes com 5 estantes cada. Em cada estante existem 8 livros. Quantos livros existem ao todo?

Podemos realizar a operação assim: total de livros = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 livros.

Ou assim: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 livros.

Exemplos

- Em conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, as propriedades associativas de adição e multiplicação são cumpridas.

-Para polinômios, eles também se aplicam a essas operações.

- Nos casos de operações de subtração, divisão e exponenciação, a propriedade associativa não se cumpre nem em números reais nem em polinómios.

-No caso de matrizes, a propriedade associativa é cumprida para adição e multiplicação, embora neste último caso, a comutatividade não seja cumprida. Isso significa que, dadas as matrizes A, B e C, é verdade que:

(A x B) x C = A x (B x C)

Mas ... A x B ≠ B x A

A propriedade associativa em vetores

Os vetores formam um conjunto diferente dos números reais ou complexos. As operações definidas para o conjunto de vetores são um tanto diferentes: há adição, subtração e três tipos de produtos.

A adição de vetores cumpre a propriedade associativa, assim como os números, polinômios e matrizes. Quanto aos produtos escalares, escalar por vetor e cruzamento que se realizam entre vetores, este último não o cumpre, mas o produto escalar, que é outro tipo de operação entre vetores, o faz, levando em consideração o seguinte:

-O produto de um escalar e um vetor resulta em um vetor.

-E ao multiplicar escalarmente dois vetores, resulta um escalar.

Portanto, dados os vetores v, ou Y W, e adicionalmente um escalar λ, é possível escrever:

–Soma de vetores: v +(ou+ W ) = (v + ou)+ W

-Produto escalar: λ (v• ou ) = (λv) • ou

Este último é possível graças av• ouresulta em um escalar e λvé um vetor.

Porém:

v ×(ou× W ) ≠ (v × ou)×W

Fatoração de polinômios por agrupamento de termos

Esta aplicação é muito interessante, pois como foi dito antes, a propriedade associativa ajuda a resolver alguns problemas. A soma dos monômios é associativa e pode ser usada para fatoração quando um fator comum óbvio não aparece à primeira vista.

Por exemplo, suponha que você seja solicitado a fatorar: x³ + 2x² + 3x +6. Este polinômio não tem fator comum, mas vamos ver o que acontece se ele for agrupado assim:

x³ + 2x² + 3x +6 = (x³ + 2x²) + (3x +6)

O primeiro parêntese tem como fator comum x²:

x³ + 2x² = x² (x + 2)

No segundo, o fator comum é 3:

3x +6 = 3 (x + 2)

Então:

x³ + 2x² + 3x +6 = x²(x + 2) + 3 (x + 2)

Agora, há um fator comum óbvio, que é x + 2:

x²(x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x²+3)

Exercícios

- Exercício 1

O prédio da escola tem 4 andares e cada um tem 12 salas de aula com 30 carteiras internas. Quantas carteiras a escola tem no total?

Solução

Este problema é resolvido aplicando a propriedade associativa da multiplicação, vejamos:

Número total de carteiras = 4 andares x 12 salas de aula / andar x 30 carteiras / sala de aula = (4 x 12) x 30 carteiras = 48 x 30 = 1440 carteiras.

Ou se preferir: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 mesas

- Exercício 2

Dados os polinômios:

A (x) = 5x³ + 2x² -7x + 1

B (x) = x⁴ + 6x³ -5x

C (x) = -8x² + 3x -7

Aplique a propriedade associativa de adição para encontrar A (x) + B (x) + C (x).

Solução

Você pode agrupar os dois primeiros e adicionar o terceiro ao resultado:

A (x) + B (x) = [5x³ + 2x² -7x + 1] + [x⁴ + 6x³ -5x] = x⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1

Imediatamente, o polinômio C (x) é adicionado:

[x⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1] + [-8x² + 3x -7] = x⁴ + 11x³ - 6x² -9x -6

O leitor pode verificar que o resultado é idêntico se for resolvido pela opção A (x) + [B (x) + C (x)].

Referências

Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Matemática é divertido. Leis comutativas, associativas e distributivas. Recuperado de: mathisfun.com.
Armazém de matemática. Definição de propriedade associativa. Recuperado de: mathwarehouse.com.
Ciência. Propriedade associativa e comutativa de adição e multiplicação (com exemplos). Recuperado de: sciencing.com.
Wikipedia. Propriedade associativa. Recuperado de: en.wikipedia.org.