O que são equações simultâneas? (exercícios resolvidos) - Ciência - 2023

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As equações simultâneas são aquelas equações que devem ser cumpridas ao mesmo tempo. Portanto, para ter equações simultâneas, você deve ter mais de uma equação.

Quando você tem duas ou mais equações diferentes, que devem ter a mesma solução (ou as mesmas soluções), diz-se que você tem um sistema de equações ou também diz que você tem equações simultâneas.

Quando temos equações simultâneas, pode acontecer que elas não tenham soluções comuns ou tenham uma quantidade finita ou tenham uma quantidade infinita.

Equações simultâneas

Dadas duas equações diferentes Eq1 e Eq2, segue-se que o sistema dessas duas equações é chamado de equações simultâneas.

As equações simultâneas satisfazem que se S é uma solução da Eq1, então S também é uma solução da Eq2 e vice-versa

Caracteristicas

Quando se trata de um sistema de equações simultâneas, você pode ter 2 equações, 3 equações ou N equações.

Os métodos mais comuns usados para resolver equações simultâneas são: substituição, equalização e redução. Também existe outro método chamado regra de Cramer, que é muito útil para sistemas com mais de duas equações simultâneas.

Um exemplo de equações simultâneas é o sistema

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Pode-se ver que x = 0, y = 2 é uma solução da Eq1, mas não é uma solução da Eq2.

A única solução comum que ambas as equações têm é x = 1, y = 1. Ou seja, x = 1, y = 1 é a solução do sistema de equações simultâneas.

Exercícios resolvidos

A seguir, procedemos à resolução do sistema de equações simultâneas mostrado acima, através dos 3 métodos mencionados.

Primeiro exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de substituição.

Solução

O método de substituição consiste em resolver uma das incógnitas em uma das equações e, em seguida, substituí-la na outra equação. Nesse caso particular, podemos resolver para "y" da Eq1 e obter que y = 2-x.

Substituindo este valor de “y” na Eq2, obtemos que 2x- (2-x) = 1. Portanto, obtemos que 3x-2 = 1, ou seja, x = 1.

Então, como o valor de x é conhecido, ele é substituído por "y" e obtém-se que y = 2-1 = 1.

Portanto, a única solução para o sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.

Segundo exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de correspondência.

Solução

O método de correspondência consiste em resolver a mesma incógnita nas duas equações e, em seguida, emparelhar as equações resultantes.

Resolvendo "x" de ambas as equações, obtemos que x = 2-y e que x = (1 + y) / 2. Agora, essas duas equações são equalizadas e obtemos que 2-y = (1 + y) / 2, de onde segue que 4-2y = 1 + y.

Agrupando o desconhecido “y” no mesmo lado, resulta que y = 1. Agora que "y" é conhecido, procedemos para encontrar o valor de "x". Substituindo y = 1, obtemos que x = 2-1 = 1.

Portanto, a solução comum entre as equações Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.

Terceiro exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de redução.

Solução

O método de redução consiste em multiplicar as equações dadas pelos coeficientes apropriados, de forma que ao somar essas equações uma das variáveis seja cancelada.

Neste exemplo particular, não é necessário multiplicar nenhuma equação por nenhum coeficiente, apenas some-os. Adicionando Eq1 mais Eq2, obtemos 3x = 3, a partir do qual obtemos x = 1.

Ao avaliar x = 1 na Eq1, obtemos que 1 + y = 2, de onde segue que y = 1.

Portanto, x = 1, y = 1 é a única solução das equações simultâneas Eq1 e Eq2.

Quarto exercício

Resolva o sistema de equações simultâneas Eq1: 2x-3y = 8 e Eq2: 4x-3y = 12.

Solução

Neste exercício, nenhum método particular é necessário, portanto, o método que é mais confortável para cada leitor pode ser aplicado.

Neste caso, o método de redução será usado. Multiplicando Eq1 por -2 dá a equação Eq3: -4x + 6y = -16. Agora, adicionando Eq3 e Eq2, obtemos que 3y = -4, portanto y = -4 / 3.

Agora, ao avaliar y = -4 / 3 na Eq1, obtemos que 2x-3 (-4/3) = 8, de onde 2x + 4 = 8, portanto, x = 2.

Em conclusão, a única solução do sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 2, y = -4 / 3.

Observação

Os métodos descritos neste artigo podem ser aplicados a sistemas com mais de duas equações simultâneas. Quanto mais equações e quanto mais incógnitas houver, mais complicado será o procedimento para resolver o sistema.

Qualquer método de resolução de sistemas de equações produzirá as mesmas soluções, ou seja, as soluções não dependem do método aplicado.

Referências

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