Série de poder: exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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UMA série de poder consiste em um somatório de termos na forma de poderes da variável x, ou mais geralmente, de x-c, Onde c é um número real constante. Em notação de soma, uma série de poderes é expressa da seguinte forma:

∑a_n (x -c)ⁿ = a_ou + a₁ (x - c) + a₂ (x - c)² + a₃ (x - c)³ +… + A_n (x - c)ⁿ

Onde os coeficientes a_ou, para₁, para₂ … São números reais e a série começa em n = 0.

Esta série é focada em valor c que é constante, mas você pode escolher qual c é igual a 0, caso em que a série de potências simplifica para:

∑a_n xⁿ = a_ou + a₁ x + a₂ x² + a₃x³ +… + A_n xⁿ

A série começa compara_ou(x-c)⁰ Y para_oux⁰ respectivamente. Mas sabemos que:

(x-c)⁰= x⁰ = 1

Portantopara_ou(x-c)⁰ = para_oux⁰ = para_ou (termo independente)

A vantagem das séries de potência é que você pode expressar funções com elas e isso tem muitas vantagens, especialmente se você deseja trabalhar com uma função complicada.

Quando for esse o caso, em vez de usar a função diretamente, use sua expansão em série de potência, que pode ser mais fácil de derivar, integrar ou trabalhar numericamente.

Claro que tudo está condicionado à convergência das séries. Uma série converge quando a adição de um certo grande número de termos dá um valor fixo. E se adicionarmos mais termos ainda, continuamos obtendo esse valor.

Funções como Power Series

Como exemplo de uma função expressa como uma série de potências, vamos tomarf (x) = e^x.

Esta função pode ser expressa em termos de uma série de poderes da seguinte forma:

e^x≈ 1 + x + (x² / 2!) + (X³ / 3!) + (X⁴ / 4!) + (X⁵ / 5!) + …

Onde! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… e leva 0! = 1.

Vamos verificar com a ajuda de uma calculadora se de fato a série coincide com a função explicitamente fornecida. Por exemplo, vamos começar fazendo x = 0.

Nós sabemos que e⁰ = 1. Vamos ver o que a série faz:

e⁰ ≈ 1 + 0 + (0² / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) + … = 1

E agora vamos tentar com x = 1. Uma calculadora mostra quee¹ = 2.71828, e então vamos comparar com a série:

e¹ ≈ 1 + 1 + (1² / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 + … ≈ 2.7167

Com apenas 5 termos, já temos uma correspondência exata em e ≈ 2,71. Nossa série tem um pouco mais a fazer, mas à medida que mais termos são adicionados, a série certamente converge para o valor exato de e. A representação é exata quando n → ∞.

Se a análise acima for repetida para n = 2 resultados muito semelhantes são obtidos.

Desta forma, temos certeza de que a função exponencial f (x) = e^x pode ser representado por esta série de poderes:

Série geométrica de poderes

A função f (x) = e^xnão é a única função que suporta uma representação de série de potências. Por exemplo, a função F(x) = 1/1 - x parece muito com o conhecido série geométrica convergente:

∑a.rⁿ = a / 1 - r

Basta fazer a = 1 e r = x para obter uma série adequada a esta função, que está centrada em c = 0:

Porém, sabe-se que esta série é convergente para │r│ <1, portanto a representação é válida apenas no intervalo (-1,1), embora a função seja válida para todo x, exceto x = 1.

Quando você quiser definir esta função em outro intervalo, você simplesmente se concentra em um valor adequado e pronto.

Como encontrar a expansão em série de poderes de uma função

Qualquer função pode ser desenvolvida em uma série de potências centrada em c, desde que tenha derivadas de todas as ordens em x = c. O procedimento faz uso do seguinte teorema, chamadoTeorema de Taylor:

Seja f (x) uma função com derivadas de ordem n, denotado como F⁽ⁿ⁾, que admite uma expansão em série de potências no intervalo Eu. Seu desenvolvimento em Taylor Series isto é:

De maneira que:

f (x) = f (c) + f´ (c) (x-c) + f´´ (c) (x-c)² / 2 + f´´´ (c) (x-c)³ / 6 +… R_n

Onde R_n, que é o enésimo termo da série, é chamado resíduo:

Quando c = 0 a série é chamada Maclaurin series.

Esta série dada aqui é idêntica à série dada no início, só que agora temos uma maneira de encontrar explicitamente os coeficientes de cada termo, dados por:

No entanto, deve-se garantir que a série converge para a função a ser representada. Acontece que nem toda série de Taylor converge necessariamente para o f (x) que se tinha em mente no cálculo dos coeficientes. para_n.

Isso acontece porque talvez as derivadas da função, avaliadas em x = c coincidir com o mesmo valor das derivadas de outra, também em x = c. Nesse caso, os coeficientes seriam os mesmos, mas o desenvolvimento seria ambíguo, pois não se sabe ao certo a qual função corresponde.

Felizmente, existe uma maneira de saber:

Critério de convergência

Para evitar ambiguidade, se R_n → 0 quando n → ∞ para todo x no intervalo I, a série converge para f (x).

Exercício

- Exercício resolvido 1

Encontre a série geométrica de potência para a função f (x) = 1/2 - x centrado em c = 0.

Solução

Devemos expressar a função dada de tal forma que coincida o mais próximo possível com 1 / 1- x, cuja série é conhecida. Portanto, vamos reescrever o numerador e o denominador, sem alterar a expressão original:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Visto que ½ é constante, ele sai da soma e é escrito em termos da nova variável x / 2:

Observe que x = 2 não pertence ao domínio da função, e de acordo com o critério de convergência dado na seção Série de potência geométrica, a expansão é válida para │x / 2│ <1 ou equivalentemente -2 <x <2.

- Exercício resolvido 2

Encontre os 5 primeiros termos da expansão da série Maclaurin da função f (x) = sin x.

Solução

Passo 1

Em primeiro lugar estão os derivados:

-Derivada de ordem 0: é a mesma função f (x) = sin x

-Primeira derivada: (sin x) ´ = cos x

-Segunda derivada: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Terceira derivada: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Quarta derivada: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Passo 2

Então, cada derivada é avaliada em x = c, como é uma expansão de Maclaurin, c = 0:

sen 0 = 0; cos 0 = 1; - sen 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

etapa 3

Os coeficientes a são construídos_n;

para_ou = 0/0! = 0; para₁ = 1/1! = 1; para₂ = 0/2! = 0; para₃ = -1 / 3!; para₄ = 0 / 4! = 0

Passo 4

Finalmente, a série é montada de acordo com:

sen x ≈ 0.x⁰ + 1. x¹ + 0 .x² - (1/3!) X³ + 0.x⁴… = X - (1/3!)) X³ + …

O leitor precisa de mais termos? Quanto mais, a série está mais perto da função.

Observe que há um padrão nos coeficientes, o próximo termo diferente de zero é um₅ e todos os índices ímpares também são diferentes de 0, alternando os sinais, de modo que:

sin x ≈ x - (1/3!)) x³ + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷ + ….

É deixado como um exercício para verificar se ele converge, você pode usar o critério de quociente para convergência de séries.

Referências

Fundação CK-12. Power Series: representação de funções e operações. Recuperado de: ck12.org.
Engler, A. 2019. Integral Calculus. Universidade Nacional do Litoral.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Textos Livres de Matemática. Série de potências. Recuperado de: math.liibretexts.org.
Wikipedia. Série de potências. Recuperado de: es.wikipedia.org.