Fórmula geral: equações quadráticas, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o Fórmula geral, que também é conhecido como fórmula de resolução em alguns textos, é usado para resolver equações de segundo grau: machado² + bx + c = 0.

Nelaspara, b Y c são números reais, com a condição de para é diferente de 0, onde x o desconhecido. Em seguida, a fórmula geral apresenta a solução do desconhecido por meio de uma expressão que envolve os valores de para, b Y c da seguinte maneira:

E por meio dessa fórmula, a solução de qualquer equação quadrática ou quadrática pode ser encontrada, desde que tal solução exista.

Segundo os historiadores, a fórmula geral já era conhecida dos antigos matemáticos babilônios. Posteriormente, foi transmitido a outros povos, como egípcios e gregos, por meio de intercâmbios culturais.

A fórmula e suas variantes chegaram à Europa graças aos matemáticos muçulmanos radicados na Península Ibérica. No entanto, eles não usaram a notação algébrica que usamos hoje. Esta notação é devida ao matemático e criptógrafo francês do século 16, François Viete.

Equações quadráticas pela fórmula geral

Vamos ver como surge a fórmula geral, para verificar sua validade. A partir de uma equação quadrática geral:

machado² + bx + c = 0

Vamos colocar em prática algumas manipulações algébricas simples, para conseguir a solução do desconhecido. Existem várias maneiras de fazer isso, por exemplo, completando quadrados, conforme mostrado abaixo.

Prova da fórmula geral

Começamos adicionando (–c) a ambos os lados da igualdade:

machado² + bx = - c

E agora é multiplicado por 4a, sempre nos dois lados da igualdade, para não alterar a expressão:

4º² x² + 4ab x = - 4ac

Adicionando b²:

4º²⋅x² + 4ab⋅x + b²= - 4ac + b²

O objetivo é completar os quadrados do lado esquerdo da igualdade, aquele que contém o desconhecido, facilitando assim o seu esclarecimento. Desta forma:

-O primeiro termo: 4º² x² é o quadrado perfeito de 2ax

-O último, que é b², é o quadrado perfeito de b.

-E o termo central é o produto duplo de 2ax eb: 2⋅2ax⋅b = 4abx

Portanto, temos um binômio ao quadrado:

4º²⋅x² + 4ab⋅x + b²= (2ax + b)²

E podemos escrever:

(2ax + b)²= - 4ac + b²

Estamos a um passo de limpar o desconhecido x:

E já obtemos a fórmula geral que conhecemos:

Existem outras maneiras de manipular a equação quadrática algebricamente e obter o mesmo resultado.

Exemplos de uso da fórmula geral

Para aplicar a fórmula geral, os valores de a, b e c são cuidadosamente determinados e substituídos na fórmula. Observe o símbolo mais menos no numerador; Isso indica que devemos considerar duas possibilidades em relação à operação, uma com o sinal + e a outra com o sinal -.

A equação quadrática pode ter as seguintes soluções, de acordo com o valor da quantidade do sub-radical, conhecida como discriminador:

-Se b² - 4ac> 0, a equação quadrática tem duas soluções reais e diferentes.

-Quando b² - 4ac = 0, a equação tem uma solução única, dada por:

x = -b / 2a

-Finalmente, se b² - 4ac <0, a equação não tem soluções reais, mas tem soluções complexas.

Vejamos alguns exemplos em que se aplica a fórmula geral, lembrando que se algum dos coeficientes que acompanham a desconhecida não aparecer, entende-se que vale 1. E se o termo independente é aquele que não se encontra, então vale 0.

- Exemplo 1

Resolva as seguintes equações quadráticas:

a) 6x² + 11x -10 = 0

b) 3x² -5x -1 = 0

Responda para

Escrevemos os coeficientes de cada termo: a = 6, b = 11, c = -10 e substituímos os valores na fórmula geral:

O resultado leva às seguintes duas soluções reais:

x₁ = (-11 + 19)/12 = 8/12 = 2/3

x₂ = (-11 – 19)/12= -5/2

Resposta b

Novamente, os coeficientes são determinados: a = 3, b = -5 e c = -1. Substituindo na fórmula:

Ao contrário do caso anterior, a raiz quadrada de 37 não é um número inteiro, mas também podemos propor as duas soluções e deixar a raiz ou encontrar o valor decimal correspondente com a ajuda da calculadora:

x₁ = (-5 + √37)/6 ≈ 0.18

x₂ = (-5 – √37)/6 ≈ – 1.85

- Exemplo 2

Resolva a equação quadrática x² - 4x +13 = 0.

Resposta

Como sempre, identificamos os valores dos coeficientes e os substituímos na fórmula geral: a = 1, b = - 4, c = 13. Isso leva a:

Temos uma raiz negativa, portanto as soluções desta equação são números complexos. A raiz pode ser expressa em termos de Eu, a unidade imaginária:

√ (36i²) = 6i

Desde que eu² = -1, portanto, as soluções complexas são:

x₁ = (4 + 6i) / 2 = 2 + 3i

x₂ = (4 - 6i) / 2 = 2 - 3i

Exercício resolvido

Uma escada de 10 m de comprimento repousa contra uma parede vertical, com o pé a 6 m da parede. A escada desliza e o pé se afasta 3 m da base.

Encontre a distância vertical percorrida pelo topo da escada.

Solução

Para encontrar a distância vertical que o topo da escada desliza, você deve encontrar a posição em que estava originalmente em relação ao solo. Podemos fazer isso com o teorema de Pitágoras, já que a figura que se forma é a de um triângulo retângulo:

H = (10² – 6²) ^½ = 8 m

Uma vez que a escada escorrega, ela percorre uma distância d, medido a partir de quando o topo estava com 8 m de altura, até atingir sua nova posição, (H-d) metros acima do solo. A incógnita a ser resolvida é d.

Para encontrá-lo, levantamos um novo triângulo retângulo, formado depois que a escada escorregou um pouco. Este triângulo ainda tem uma hipotenusa igual a 10 me a perna paralela ao solo agora mede 6m + 3m = 9 m, portanto:

(H-d)² = 10² – 9² = 100 – 81 = 19

Substituímos H = 8m, calculado anteriormente:

(8-d)² = 19

A equação pode ser resolvida de várias maneiras, inclusive, é claro, usando a fórmula geral, que mostraremos a seguir com estas etapas:

Passo 1

Desenvolva o produto notável à esquerda:

64 -16d + d² = 19

Passo 2

Estabeleça a equação quadrática para o desconhecido d:

d² - 16d + 45 = 0

etapa 3

-Os coeficientes são: a = 1, b = -16 ec = 45, nós os substituímos na fórmula geral:

As soluções da equação são:

d₁ = (16 + √76) / 2 ≈ 12,36 m

d₂ = (16 - √76) / 2 ≈ 3,64 m

Passo 4

São analisadas as soluções obtidas: a primeira não faz sentido físico, pois não é possível que a escada deslize 12,36 m, se originalmente o topo estava 8 m acima do solo.

Portanto, a resposta correta é a segunda solução: o topo da escada desliza d = 3,64 m.

O leitor pode resolver o problema aplicando outro método?

Referências

Baldor. 1977. Elementary Algebra. Edições culturais venezuelanas.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 2.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.