Componentes retangulares de um vetor (com exercícios) - Ciência - 2023


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Componentes retangulares de um vetor (com exercícios) - Ciência
Componentes retangulares de um vetor (com exercícios) - Ciência

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As componentes retangulares de um vetor são os dados que compõem o referido vetor. Para determiná-los, é necessário ter um sistema de coordenadas, que geralmente é o plano cartesiano.

Depois de ter um vetor em um sistema de coordenadas, você pode calcular seus componentes. São 2, um componente horizontal (paralelo ao eixo X), denominado "componente no eixo X", e um componente vertical (paralelo ao eixo Y), denominado "componente no eixo Y".

Para determinar os componentes, é necessário conhecer alguns dados do vetor como sua magnitude e o ângulo que forma com o eixo X.

Como determinar os componentes retangulares de um vetor?

Para determinar esses componentes, certas relações entre os triângulos retângulos e as funções trigonométricas devem ser conhecidas.


Na imagem a seguir você pode ver essa relação.

O seno de um ângulo é igual ao quociente entre a medida da perna oposta ao ângulo e a medida da hipotenusa.

Por outro lado, o cosseno de um ângulo é igual ao quociente entre a medida da perna adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa.

A tangente de um ângulo é igual ao quociente entre a medida da perna oposta e a medida da perna adjacente.

Em todas essas relações, é necessário estabelecer o triângulo retângulo correspondente.

Existem outros métodos?

Sim. Dependendo dos dados fornecidos, a maneira de calcular os componentes retangulares de um vetor pode variar. Outra ferramenta amplamente utilizada é o Teorema de Pitágoras.

Exercícios resolvidos

Os exercícios a seguir colocam em prática a definição das componentes retangulares de um vetor e as relações descritas acima.


Primeiro exercício

Sabe-se que um vetor A tem magnitude igual a 12 e o ângulo que ele faz com o eixo X tem medida de 30 °. Determine os componentes retangulares do referido vetor A.

Solução

Se a imagem for apreciada e as fórmulas descritas acima forem utilizadas, pode-se concluir que o componente no eixo Y do vetor A é igual a

sin (30 °) = Vy / 12 e, portanto, Vy = 12 * (1/2) = 6.

Por outro lado, temos que o componente no eixo X do vetor A é igual a

cos (30 °) = Vx / 12 e, portanto, Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Segundo exercício

Se o vetor A tiver uma magnitude igual a 5 e o componente no eixo x for igual a 4, determine o valor do componente de A no eixo y.


Solução

Usando o Teorema de Pitágoras, a magnitude do vetor A ao quadrado é igual à soma dos quadrados das duas componentes retangulares. Ou seja, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Substituindo os valores dados, você deve

5² = (4) ² + (Vy) ², portanto, 25 = 16 + (Vy) ².

Isso implica que (Vy) ² = 9 e, conseqüentemente, Vy = 3.

Terceiro exercício

Se o vetor A tem magnitude igual a 4 e faz um ângulo de 45 ° com o eixo X, determine as componentes retangulares desse vetor.

Solução

Usando as relações entre um triângulo retângulo e as funções trigonométricas, pode-se concluir que a componente no eixo Y do vetor A é igual a

sin (45 °) = Vy / 4 e, portanto, Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Por outro lado, temos que o componente no eixo X do vetor A é igual a

cos (45 °) = Vx / 4 e, portanto, Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Referências

  1. Landaverde, F. D. (1997). Geometria (Reimpressão ed.). Progresso.
  2. Leake, D. (2006). Triângulos (edição ilustrada). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrias. Tecnológico de CR.
  5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.