Teoria dos conjuntos: características, elementos, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o teoria de conjuntos É um ramo da lógica-matemática responsável pelo estudo das relações entre entidades chamadas conjuntos. Os conjuntos caracterizam-se por serem coleções de objetos da mesma natureza. Esses objetos são os elementos do conjunto e podem ser: números, letras, figuras geométricas, palavras que representam objetos, os próprios objetos e outros.

Foi Georg Cantor, no final do século 19, que propôs a teoria dos conjuntos. Enquanto outros matemáticos notáveis no século 20 fizeram sua formalização: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel entre outros.

Os diagramas de Venn são a forma gráfica de representar um conjunto e consiste em uma figura plana fechada dentro da qual estão os elementos do conjunto.

Por exemplo, na figura 1 são mostrados dois conjuntos A e B, que têm elementos em comum, os elementos comuns a A e B. Estes formam um novo conjunto denominado conjunto de intersecção de A e B, que está escrito na forma simbólico da seguinte forma:

A ∩ B

Caracteristicas

O conjunto é um conceito primitivo, pois é na geometria o conceito de ponto, linha ou plano. Não há melhor maneira de expressar o conceito do que apontar exemplos:

Conjunto E formado pelas cores da bandeira da Espanha. Essa forma de expressar o conjunto é chamada de compreensão. O mesmo conjunto E escrito por extensão é:

E = {vermelho, amarelo}

Neste caso, vermelho e amarelo são elementos do conjunto E. Deve-se notar que os elementos estão listados entre colchetes e não se repetem. No caso da bandeira espanhola, há três faixas coloridas (vermelha, amarela, vermelha), duas das quais se repetem, mas os elementos não se repetem quando o todo é expresso.

Suponha que o conjunto V formado pelas três primeiras letras vocálicas:

V = {a, e, i}

O conjunto de potência de V, que é denotado por P (V), é o conjunto de todos os conjuntos que podem ser formados com os elementos de V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Tipos de conjuntos

Conjunto finito

É um conjunto em que seus elementos são contáveis. Exemplos de conjuntos finitos são as letras do alfabeto espanhol, as vogais do espanhol, os planetas do sistema solar, entre outros. O número de elementos em um conjunto finito é chamado de cardinalidade.

Conjunto infinito

Entende-se por conjunto infinito todo aquele cujo número de elementos é incontável, pois por maior que seja o número de seus elementos, sempre é possível encontrar mais elementos.

Um exemplo de um conjunto infinito é o conjunto de números naturais N, que em forma extensa é expresso da seguinte forma:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} É claramente um conjunto infinito, já que não importa quão grande seja um número natural, o próximo maior sempre pode ser encontrado, em um processo infinito. Claramente, a cardinalidade de um conjunto infinito é ∞.

Conjunto vazio

É o conjunto que não contém nenhum elemento. O conjunto vazio V é denotado por Ø ou por um par de chaves sem elementos dentro:

V = {} = Ø.

O conjunto vazio é único, portanto deve ser incorreto dizer "um conjunto vazio", a forma correta é dizer "o conjunto vazio".

Entre as propriedades do conjunto vazio, temos que ele é um subconjunto de qualquer conjunto:

Ø ⊂ A

Além disso, se um conjunto é um subconjunto do conjunto vazio, então, necessariamente, o referido conjunto será o vácuo:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Conjunto unitário

Um conjunto de unidades é denominado qualquer conjunto que contenha um único elemento. Por exemplo, o conjunto de satélites naturais da Terra é um conjunto unitário, cujo único elemento é a Lua. O conjunto B de inteiros menores que 2 e maiores que zero possui apenas o elemento 1, portanto é um conjunto de unidades.

Conjunto binário

Um conjunto é binário se tiver apenas dois elementos. Por exemplo, o conjunto X, tal que x é uma solução de número real de x ^ 2 = 2. Este conjunto por extensão é escrito assim:

X = {-√2, + √2}

Conjunto universal

O conjunto universal é um conjunto que contém outros conjuntos do mesmo tipo ou natureza. Por exemplo, o conjunto universal de números naturais é o conjunto de números reais. Mas os números reais são um conjunto universal também de números inteiros e números racionais.

Itens essenciais

- Relações entre conjuntos

Nos conjuntos, você pode estabelecer vários tipos de relacionamento entre eles e seus elementos. Se dois conjuntos A e B têm exatamente os mesmos elementos entre eles, uma relação de igualdade é estabelecida, denotada da seguinte forma:

PARA = B

Se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B, mas nem todos os elementos de B pertencem a A, então, entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão que é denotada assim:

A ⊂ B, mas B ⊄ A

A expressão acima diz: A é um subconjunto de B, mas B não é um subconjunto de A.

Para indicar que algum elemento ou elementos pertencem a um conjunto, o símbolo de pertinência ∈ é usado, por exemplo, para dizer que x elemento ou elementos pertencem ao conjunto A é escrito simbolicamente assim:

x ∈ A

Se um elemento não pertence ao conjunto A, esta relação é escrita assim:

e ∉ A

A relação de pertinência existe entre os elementos de um conjunto e o conjunto, com exceção apenas do conjunto de potência, sendo o conjunto de potência a coleção ou conjunto de todos os conjuntos possíveis que podem ser formados com os elementos desse conjunto.

Suponha que V = {a, e, i}, seu conjunto de potência é P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, nesse caso o conjunto V passa a ser um elemento do conjunto P (V) e pode ser escrito:

V ∈ P (V)

- Propriedades de inclusão

A primeira propriedade de inclusão estabelece que todo conjunto está contido em si mesmo, ou seja, que é um subconjunto de si mesmo:

A ⊂ A

A outra propriedade de inclusão é a transitividade: se A é um subconjunto de B e B é, por sua vez, um subconjunto de C, então A é um subconjunto de C. Na forma simbólica, a relação de transitividade é escrita da seguinte maneira:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Abaixo está o diagrama de Venn correspondente à transitividade da inclusão:

- Operações entre conjuntos

Interseção

A intersecção é uma operação entre dois conjuntos que dá origem a um novo conjunto pertencente ao mesmo conjunto universal dos dois primeiros. Nesse sentido, é uma operação fechada.

Simbolicamente, a operação de interseção é formulada assim:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Um exemplo é o seguinte: o conjunto A das letras da palavra “elementos” e o conjunto B das letras da palavra “repetido”, a intersecção entre A e B é escrita assim:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. O conjunto universal U de A, de B e também de A⋂B é o conjunto das letras do alfabeto espanhol.

União

A união de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos e pelos elementos não comuns dos dois conjuntos. A operação de união entre conjuntos é expressa simbolicamente assim:

A∪B = {x / x∈A v x∈B}

Diferença

A operação de diferença do conjunto A menos o conjunto B é denotada por A-B. A-B é um novo conjunto formado por todos os elementos que estão em A e que não pertencem a B. Simbolicamente está escrito assim:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Diferença simétrica

A diferença simétrica é uma operação entre dois conjuntos em que o conjunto resultante é composto de elementos não comuns aos dois conjuntos. A diferença simétrica é representada simbolicamente assim:

A⊕B = {x / x∈ (A-B) ^ x∈ (B-A)}

Exemplos

Exemplo 1

O diagrama de Venn é uma forma gráfica de representar conjuntos. Por exemplo, o conjunto C das letras no conjunto de palavras é representado assim:

Exemplo 2

É mostrado a seguir pelos diagramas de Venn que o conjunto de vogais na palavra "conjunto" é um subconjunto do conjunto de letras da palavra "conjunto".

Exemplo 3

O conjunto Ñ das letras do alfabeto espanhol é um conjunto finito, este conjunto por extensão é escrito assim:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} e sua cardinalidade é 27.

Exemplo 4

O conjunto V das vogais em espanhol é um subconjunto do conjunto Ñ:

V ⊂ Ñ portanto, é um conjunto finito.

O conjunto finito V em forma extensa, é escrito assim: V = {a, e, i, o, u} e sua cardinalidade é 5.

Exemplo 5

Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 2, 4, 7, 9}, determine A-B e B-A.

A - B são os elementos de A que não estão em B:

A - B = {6, 8}

B - A são os elementos de B que não estão em A:

B - A = {1, 7, 9}

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Escreva em forma simbólica e também por extensão o conjunto P de números naturais pares menores que 10.

Solução: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Exercício 2

Suponha que o conjunto A seja formado pelos números naturais que são fatores de 210 e o conjunto B que seja formado pelos números naturais primos menores que 9. Determine por extensão ambos os conjuntos e estabeleça a relação entre os dois.

SoluçãoPara determinar os elementos do conjunto A, devemos começar encontrando os fatores do número natural 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Então o conjunto A é escrito:

A = {2, 3, 5, 7}

Consideramos agora o conjunto B, que são os primos menores que 9. 1 não é primo porque não atende à definição de primo: "um número é primo se e somente se tiver exatamente dois divisores, 1 e o próprio número." O 2 é par e ao mesmo tempo é primo porque atende à definição de um primo, os outros primos menores que 9 são 3, 5 e 7. Portanto, o conjunto B é:

B = {2, 3, 5, 7}

Portanto, os dois conjuntos são iguais: A = B.

Exercício 3

Determine o conjunto cujos elementos x são diferentes de x.

Solução: C = {x / x ≠ x}

Visto que cada elemento, número ou objeto é igual a si mesmo, o conjunto C não pode ser diferente do conjunto vazio:

C = Ø

Exercício 4

Seja o conjunto de N's de números naturais e Z o conjunto de números inteiros. Determine N ⋂ Z e N ∪ Z.

Solução:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z porque N ⊂ Z.

Referências

Garo, M. (2014).Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
Matemática 10 (2018). "Exemplos de conjuntos finitos". Recuperado de: matematicas10.net
Wikipedia. Teoria de conjuntos. Recuperado de: es.wikipedia.com